公元1858年，德國(guó)數(shù)學(xué)家莫比烏斯（Mobius，1790-1868）和約翰·李斯丁發(fā)現(xiàn)：把一根紙條扭轉(zhuǎn)180°后，兩頭再粘接起來(lái)所做成的紙帶圈，具有魔術(shù)般的性質(zhì)。

普通的紙帶都有兩個(gè)面（即雙側(cè)曲面），一個(gè)正面，一個(gè)反面，兩個(gè)面可以涂成不同的顏色；而這樣的紙帶卻只有一個(gè)面（即單側(cè)曲面），一只小蟲(chóng)可以爬遍整個(gè)曲面而不必跨過(guò)它的邊緣。這樣的紙帶被稱為“莫比烏斯帶”。

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難易指數(shù)：★★★

適宜對(duì)象：數(shù)學(xué)興趣班

本期編號(hào)：D00068

關(guān)鍵詞：莫比烏斯帶

莫比烏斯帶

制作方法

拿一張白色的長(zhǎng)紙條，把一面涂成黑色，再把其中一端翻一個(gè)身，粘成一個(gè)莫比烏斯帶。用剪刀沿紙帶中央把它剪開(kāi)。紙帶不僅沒(méi)有一分為二，反而剪出一個(gè)兩倍長(zhǎng)的紙圈。

莫比烏斯圈

新得到的這個(gè)較長(zhǎng)的紙圈，卻是一個(gè)雙側(cè)曲面，它的兩條邊界自身雖不打結(jié)，但卻相互的套在一起。把上述紙圈，再一次沿中線剪開(kāi)，這回可真的一分為二了，得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含于兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身并不打結(jié)而已。

相反，拿一張白的長(zhǎng)紙條，把一面涂成黑色，把其中一端360度翻一個(gè)身，粘成一個(gè)雙側(cè)曲面。用剪刀沿紙帶中央把它剪開(kāi)。紙帶不僅沒(méi)有一分為二，反而剪出兩個(gè)環(huán)套環(huán)雙側(cè)曲面。

莫比烏斯帶還有更為奇異的特性。一些在平面上無(wú)法解決的問(wèn)題，卻不可思議地在莫比烏斯帶上獲得了解決。

比如在普通空間無(wú)法實(shí)現(xiàn)的"手套易位"問(wèn)題：人左右兩手的手套雖然極為相像，但卻有著本質(zhì)的不同。我們不可能把左手的手套貼切地戴到右手上去；也不能把右手的手套貼切地戴到左手上來(lái)。無(wú)論你怎么扭來(lái)轉(zhuǎn)去，左手套永遠(yuǎn)是左手套，右手套也永遠(yuǎn)是右手套！不過(guò)，倘若你把它搬到莫比烏斯帶上來(lái)，那么解決起來(lái)就易如反掌了。

在自然界有許多物體也類似于手套那樣，它們本身具備完全相像的對(duì)稱部分，但一個(gè)是左手系的，另一個(gè)是右手系的，它們之間有著極大的不同。

拓?fù)渥儞Q

莫比烏斯帶是一種拓展圖形，它們?cè)趫D形被拉大、彎曲、縮小或任意的變形下保持不變，只要在變形過(guò)程中不使原來(lái)不同的點(diǎn)重合為同一個(gè)點(diǎn)，不產(chǎn)生新點(diǎn)。

換句話說(shuō)，這種變換的條件是：在原來(lái)圖形的點(diǎn)與變換了圖形的點(diǎn)之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，并且鄰近的點(diǎn)還是鄰近的點(diǎn)。這樣的變換叫做拓?fù)渥儞Q。

拓?fù)溆幸粋€(gè)形象說(shuō)法——橡皮幾何學(xué)。因?yàn)槿绻麍D形都是用橡皮做成的，就能把許多圖形進(jìn)行拓?fù)渥儞Q。例如一個(gè)橡皮圈能變形成一個(gè)圓圈或一個(gè)方圈。但是一個(gè)橡皮圈不能由拓?fù)渥儞Q成為一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字8。因?yàn)椴话讶ι系膬蓚€(gè)點(diǎn)重合在一起，圈就不會(huì)變成8，“莫比烏斯帶”正好滿足了上述要求。

克萊因瓶

1882年，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家菲立克斯·克萊因 (Felix Klein) 發(fā)現(xiàn)了后來(lái)以他的名字命名的著名“瓶子”。克萊因瓶的結(jié)構(gòu)可表述為：一個(gè)瓶子底部有一個(gè)洞，現(xiàn)在延長(zhǎng)瓶子的頸部，并且扭曲地進(jìn)入瓶子內(nèi)部，然后和底部的洞相連接。和我們平時(shí)用來(lái)喝水的杯子不一樣，這個(gè)物體沒(méi)有“邊”，它的表面不會(huì)終結(jié)。它和球面不同 ，一只蒼蠅可以從瓶子的內(nèi)部直接飛到外部而不用穿過(guò)表面，即它沒(méi)有內(nèi)外之分。

實(shí)際上，可以說(shuō)克萊因瓶是一個(gè)3°的莫比烏斯帶。我們知道，在平面上畫一個(gè)圓，再在圓內(nèi)放一樣?xùn)|西，假如在二度空間中將它拿出來(lái)，就不得不越過(guò)圓周。但在三度空間中，很容易不越過(guò)圓周就將其拿出來(lái)，放到圓外。將物體的軌跡連同原來(lái)的圓投影到二度空間中，就是一個(gè)“二維克萊因瓶”，即莫比烏斯帶（這里的莫比烏斯帶是指拓?fù)湟饬x上的莫比烏斯帶）。

再設(shè)想一下，在我們的3°空間中，不可能在不打破蛋殼的前提下從雞蛋中取出蛋黃，但在四度空間里卻可以。將蛋黃的軌跡連同蛋殼投影在三度空間中，必然可以看到一個(gè)克萊因瓶。

莫比烏斯帶的數(shù)學(xué)描述

可以用參數(shù)方程式創(chuàng)造出立體莫比烏斯帶。

莫比烏斯帶的參數(shù)方程

這個(gè)方程組可以創(chuàng)造一個(gè)邊長(zhǎng)為1半徑為1的莫比烏斯帶，所處位置為x-y面，中心為（0，0，0）。參數(shù)u在v從一個(gè)邊移動(dòng)到另一邊的時(shí)候環(huán)繞整個(gè)帶子。

從拓?fù)鋵W(xué)上來(lái)講，莫比烏斯帶可以定義為矩陣[0,1]×[0,1]，邊由在

0≤x≤1的時(shí)候（x,0）~（1-x,1）決定。

旋轉(zhuǎn)緯度的分析

傳統(tǒng)的三維世界里，所有的維度都是直線式的，但如果將旋轉(zhuǎn)視為一種緯度，則相對(duì)容易對(duì)莫比烏斯帶進(jìn)行解釋。

從莫比烏斯帶的結(jié)構(gòu)來(lái)看，它包含了一個(gè)水平360度旋轉(zhuǎn)的維度，同時(shí)包含了一個(gè)垂直方向上360度旋轉(zhuǎn)的維度，加上帶子本身的平面（x,y）維度，莫比烏斯帶總共是四個(gè)維度。

兩個(gè)旋轉(zhuǎn)緯度的關(guān)系

如果垂直方向上旋轉(zhuǎn)的度數(shù)繼續(xù)增加，只會(huì)增加莫比烏斯帶纏繞的圈數(shù)，并不會(huì)額外增加空間的維度。

莫比烏斯帶的應(yīng)用

1、用皮帶傳送的動(dòng)力機(jī)械的皮帶就可以做成“莫比烏斯帶”狀，這樣皮帶可以磨損的面積就變大了。

2、如果把錄音機(jī)的磁帶做成“莫比烏斯帶”狀，就不存在正反兩面的問(wèn)題了，磁帶就只有一個(gè)面了。

3、它還能平坦的嵌入三維空間。簡(jiǎn)易的“莫比烏斯圈”可通過(guò)一張長(zhǎng)方形紙任何一面反轉(zhuǎn)粘貼。