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【題目】

在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是線段BC上一動點（與點B、C不重合），連接AP，延長BC至點Q，使得CQ=CP，過點Q作QH⊥AP于點H，交AB于點M.

（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）；

（2）用等式表示線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1

【讀題】

解題的第一步當然是讀題，讀題的目的是弄清題意。單墫教授在《解題研究》中對此有過精準的論述：“已知是什么？需要我們做什么？這一點是極簡單明白的事情。但如果提問幾位正在做題的、中等偏下的學生，往往能發(fā)現(xiàn)他們并不一定清楚問題的條件，而且也不太清楚自己在做什么。”“‘一目十行，過目不忘’，前四個字可以解釋為能夠很快地理解題意，抓住最主要的東西；后四個字表示一種短暫的記憶力，即在一段時間內(nèi)記住條件和結(jié)論。這種功夫需要多練（多讀書）。”

弄清楚除了已知和未知，還要迅速地從記憶的“存儲庫”中提取出相關(guān)的解題模型和解題經(jīng)驗，進行有效的組合。解題經(jīng)驗是“死的知識”，用起來才是“活的知識”，積累經(jīng)驗的目的就是為了解決問題時候能夠很好地激活它。

因為比解答更重要的是解法，即如何從已知走向了未知，而將題目中的信息與記憶中的信息進行有效組合，適當整理，正是走向未知的第一步，因此，題目應當認真讀、仔細讀，真正弄清楚，謀定而后動。

具體到本題，題干中的關(guān)鍵信息有三條：

第一條，背景圖形是等腰直角三角形ABC，由此可知△ABC中線段和角的關(guān)系；

第二條，CQ=CP，線段數(shù)量關(guān)系暗示軸對稱的位置關(guān)系，可得△ACP≌△ACQ；

第三條，QH⊥AP，由此可得相關(guān)角度的數(shù)量關(guān)系，是本題問題解決的關(guān)鍵。

（1）角度關(guān)系的計算與推導，這樣的題目在平時的練習中經(jīng)常進到，往往是三角形內(nèi)外角的關(guān)系的綜合應用，本小問也不例外。

（2）兩條線段的數(shù)量關(guān)系，幾何直觀判斷此二線段并不相等，那么一定是倍分關(guān)系。初讀題目時，題目條件中的“等腰直角三角形”要引起重視。

【分析】

    （1）這是一道送分題。突破口不同，方法也不同。下面介紹兩種不同的方法：

方法一：內(nèi)角與外角的關(guān)系

由已知可得，∠CAB=∠ABC=45°；

又因為∠PAC=α，

可得∠BAP=∠BAC-∠PAC=45°-α；

因為QH⊥AP，可得∠AHM=90°；

于是，在Rt△AHM中，

可得∠AMQ=180°-90°-（45°-α）=45°+α。

方法二：“8字型”模型

由已知條件可知AC和QH構(gòu)成“8字型”模型，于是可得∠PAC=∠Q=α；

又知∠B=45°，則可知∠AMQ=∠B+∠Q=45°+α。

第二種方法幾乎是“一目了然”的，可見幾何直觀在某種程度上，并不亞于嚴謹?shù)倪壿嬐评砗陀嬎恪缀沃庇^對于幾何綜合題的分析所起的作用，是考生在備考期間經(jīng)常會忽略的。

（2）這一問沒有其他任何新增加的信息，分析此種類型的題目，必然要對第一問的作用提高警惕，兩問之間往往有著密切的聯(lián)系。

為了分析MB和PQ之間的數(shù)量關(guān)系，幾何直觀可以初步判定二者長度是不相等的，需要確定二者的倍數(shù)。為此需要從已知信息中進行分析，并挖掘各條線段的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系。

首先考慮（1）的結(jié)論所隱藏的信息：

（1）的結(jié)論∠AMQ=45°+α；同時根據(jù)已知可以得出∠QAC=∠PAC=α；

于是可得∠MAQ=45°+α，則∠AMQ=∠MAQ，可得QA=QM。

接下來，就是對考生基本功的考查了，如何構(gòu)造三角形以便更好地分析線段之間的數(shù)量關(guān)系呢？或者說，如何構(gòu)造全等的三角形進行分析呢？

圖2

圖3

圖4                     圖5

需要注意的是，采用這種分析思路，在證明三角形全等時，如果考慮到QA=QM=PA，則可以選取不同的三角形全等的判定方法。

圖6

圖7

圖8

構(gòu)造平行四邊形的進行線段的集中，還可以采用下面的方法七進行，為了便于區(qū)別，將方法七單獨列出。

圖9

圖10

除此之外，還可以采取構(gòu)造平面直角坐標系的方法進行，感興趣的讀者可以閱讀【反思】部分。

    【反思】

1.“一個躺著的和一個站著的直角三角形”是幾何綜合題中重要的基本模型，不同的放置方向和相對位置可以產(chǎn)生不同的圖形。考生在備考期間，要重視此類模型在幾何綜合題的解答過程中所起的過渡作用，熟練運用此類模型，可以壓縮思維的長度，提高解題的效率。

幾何模型的積累在于平時的總結(jié)，比如一對直角三角形，可以在運動變化過程中通過平移和旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生各種常見的應用，如圖11所示的幾種情形，就在本題個各種方法中都有涉及。我們可以把這個模型成為“一個躺著的和一個站著的直角三角形”，從而便于記憶。

圖11

2. 對于北京中考真題，數(shù)量有限，做一道就少一道，在做題時，不僅要重視題中涉及的知識點和解題方法，更要重視這類題目的解法。我們學習的不僅僅是解決這一道題的技巧和方法，更是這一類題目的解題方法。如果考生能夠足夠重視解題的一般流程，并在實踐中不斷實踐應用，那么才算是真正學會了如何思考，才能從根本上進行思維的訓練，而不是疲于應付考試。      

波利亞主張：“一個有責任心的教師與其窮于應付繁瑣的教學內(nèi)容和過量的題目，還不如選擇一個有意義但又不太復雜的題目去幫助學生深入發(fā)掘題目的各個側(cè)面，在指導學生解題的過程中，提高他們的才智與推理能力。使學生通過這道題目，就如同通過一道大門而進入一個嶄新的天地?！边@段話同樣可以作為考生備考時的參考。在這個意義上說，刷一百道題，也不如深入“研究”一道題。

3. 本題還可以分別求出線段的長度，進而獲得二者的數(shù)量關(guān)系。

圖12

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