點(diǎn)擊領(lǐng)取>>>北京中考真題、北京各區(qū)初三一模、二模試卷及答案解析匯總

圖1

【讀題】

讀題的過程分為兩個(gè)方面，一方面，是從題干和問題設(shè)置中獲取關(guān)鍵的信息。（1）DP=PE=3，則求DE的長，屬于簡單的解直角三角形的問題。（2）就需要充分利用本題中的60°，DP+PE=6，∠DPA=∠OPE，這三個(gè)條件。另一方面，要從解題經(jīng)驗(yàn)和方法的總結(jié)中迅速檢索相關(guān)的解題類型和幾何模型。本題根據(jù)分析出發(fā)點(diǎn)的不同，可以采取兩種不同的思路進(jìn)行分析：

其一，是根據(jù)∠DPA=∠OPE，構(gòu)造軸對稱圖形，從而獲得解決的突破口；

第二，結(jié)合題干信息并綜合進(jìn)行分析，可以明確構(gòu)造等邊三角形也不失為一種理想的方法；再結(jié)合DP+PE=6，這顯然是等邊三角形的一個(gè)重要性質(zhì)的應(yīng)用，說明等邊三角形的高等于6.

如圖2所示，等邊△OQN中，M為OQ中點(diǎn)，P為OQ上一點(diǎn)，PD⊥QN，PE⊥ON，根據(jù)三角形面積關(guān)系：

圖2

即PE+PE的和，正好是等邊三角形的高的值。

當(dāng)我們畫出上圖所示的基本圖形后，結(jié)合“角分線”這一關(guān)鍵詞，發(fā)現(xiàn)其中又“隱藏”著一個(gè)經(jīng)典的幾何模型——“對邊互補(bǔ)+角分線”模型。這樣的分析為順利確定點(diǎn)M的位置做好了準(zhǔn)備。

圖3

上述分析，需要對圖2涉及到的數(shù)量關(guān)系非常熟悉，對考生的解題經(jīng)驗(yàn)要求比較高。如果不建立這樣的等邊三角形，也可以按照標(biāo)準(zhǔn)答案的思路進(jìn)行計(jì)算，讀者可以參照下文【標(biāo)準(zhǔn)答案】進(jìn)行對比，此處從略。

（2）在尋找突破口方面難度較大，入手不容易。下面采取三種不同的角度進(jìn)行分析。

方法一：角分線和對角互補(bǔ)模型的應(yīng)用

根據(jù)上一問，可知分析時(shí)需要借助等邊△ONQ，其角分線為NM。

如果考生熟悉角分線的模型，可以發(fā)現(xiàn)本題隱藏著“角分線+對角互補(bǔ)”這樣一個(gè)核心的幾何模型，于是，問題的分析是“顯而易見”的。

如圖4所示，可知點(diǎn)D、E在以PN為直徑的圓上，又∠PMN=90°，因此點(diǎn)M也在此圓上。因?yàn)镹M平分∠END，可得DM=ME。于是問題解決，即存在這樣的點(diǎn)M，使得比值為定值1。       

圖4

方法二：定值轉(zhuǎn)換和垂直平分線

如圖5所示，作點(diǎn)D關(guān)于射線OA的對稱點(diǎn)K，連接KP。

因?yàn)椤螼PE=∠APD=∠APK，可知點(diǎn)K、P和E三點(diǎn)共線。

作線段KE的垂直平分線，交射線OA于點(diǎn)M，連接MK、ME，MD。

則不難得出MD=MK=ME，又因?yàn)樵邳c(diǎn)P運(yùn)動的過程中PD+PE為定值，

所以線段KE的垂直平分線恒為直線，因此直線l與射線OA的交點(diǎn)恒為點(diǎn)M，

于是，MD=MK=ME恒成立，故存在這樣的點(diǎn)M，使得結(jié)論成立。

圖5

方法三：軸對稱與全等應(yīng)用

這種方法與方法二是出發(fā)點(diǎn)是一樣的，不同之處在于通過三角形全等證明ME=MK，這也是標(biāo)準(zhǔn)答案提供的思路，讀者可參見下文，此從略。

方法一的思路源于對于幾何模型的運(yùn)用自如，難點(diǎn)在于能夠憑借“蛛絲馬跡”將不同的模型綜合起來解決問題；方法二和方法三則又需要對于同時(shí)將角度相等和和為定值轉(zhuǎn)化為一條“豎直”的線段，對于圖形的構(gòu)造也有比較高的要求。

【反思】

1. 本題最后一問幾何定值的分析是本題的難點(diǎn)，或者說尋找解決問題的切入點(diǎn)是本題的難點(diǎn)。在這個(gè)角度來看，（1）和（2）兩個(gè)問題的設(shè)置是緊密相連的，從中也可以看出命題老師的良苦用心。

2. 幾何綜合題，不變的永遠(yuǎn)是幾何模型。本題只提供了一個(gè)60°，以及兩條線段的和為定值，條件之間的關(guān)系貌似比較松散，據(jù)此畫出隱藏的等邊三角形是解題的關(guān)鍵。對角互補(bǔ)和角分線的結(jié)合可以產(chǎn)生等鄰邊的四邊形，這也是非常典型的幾何模型。方法一正是根據(jù)這樣的解題經(jīng)驗(yàn)，通過構(gòu)造等邊三角形從而獲得問題的突破。

3. 方法二和方法三，是從“PD+PE=6”入手，通過軸對稱圖形，將兩條線段轉(zhuǎn)化到了同一條直線上，本質(zhì)上是確定點(diǎn)D關(guān)于射線OA的對稱點(diǎn)的軌跡或者確定點(diǎn)M的軌跡，從而確定MP=ME。

4. “角分線+對角互補(bǔ)”這一幾何模型，在幾何綜合題中具有重要地位，據(jù)此衍生出來的中考綜合題不勝枚舉，在海淀、西城等的八年級期末試題中也多有考查，遠(yuǎn)的如2006年北京中考、2010年宣武區(qū)中考一模，近的如2016年11月海淀期中，2017平谷一模，2018年北京各區(qū)模擬試題中更多；全國各地中考試題如2015年重慶B卷、2016年吉林長春、2017年寧夏等地的中考幾何綜合題，八年級的如2011年1月海淀期末、2014年1月西城區(qū)期末試題幾何綜合題，這些試題均是這一幾何模型的應(yīng)用。

5. 下面再提供一種新的思路。

建立平面直角坐標(biāo)系如圖8所示，過點(diǎn)D作DH⊥x軸于H，作PG⊥DH于G。

圖8

聲明：本文信息來源于網(wǎng)絡(luò)整理，由網(wǎng)站團(tuán)隊(duì)（微信公眾號搜索：北京小學(xué)學(xué)習(xí)資料）排版編輯，若有侵權(quán)，請聯(lián)系管理員刪除。

掃碼添加“家長論壇”微信好友（微信號 16619908263）

獲取北京中考真題、北京各區(qū)初三一模、二模試卷及答案解析匯總

咨詢北京中考沖刺課程請撥打電話 16619908263 （同微信號）