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【題目】

正方形ABCD的邊長為2.將射線AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，所得射線與線段BD交于點(diǎn)M，作CE⊥AM于點(diǎn)E，點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于直線CE對稱，連接CN.

（1）如圖1，當(dāng)0°< α < 45°時(shí)，

①依題意補(bǔ)全圖1；

②用等式表示∠NCE與∠BAM之間的數(shù)量關(guān)系            ；

（2）當(dāng)45° < α < 90°時(shí)，探究∠NCE與∠BAM之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

（3）當(dāng)0° < α < 90°時(shí)，若邊AD的中點(diǎn)為F，直接寫出線段EF長的最大值.

圖1

【讀題】

首先利用題干信息作出圖形，然后才能在讀題過程中很好地理解題目該出的條件和需要解決的問題。

（2）的角度推導(dǎo)需要寫出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明過程，解題經(jīng)驗(yàn)告訴我們，應(yīng)該類比（1）的分析過程進(jìn)行。

（3）需要求出線段EF的最大值，需要根據(jù)題目條件，合理構(gòu)造最值模型。

【分析】

（1）補(bǔ)全圖形如圖2所示。在進(jìn)行∠NCE與∠BAM之間的數(shù)量關(guān)系推導(dǎo)時(shí)，要求考生熟練掌握以下兩個(gè)基本的圖形，如圖3和圖4所示。

         圖2               圖3              圖4

圖3中，根據(jù)正方形的軸對稱性可知∠BAM=∠BCM；

由圖4可知∠BAE=∠BCE。

所以可知∠MCE=2∠BAM，又因?yàn)椤螻CE=∠MCE，

所以∠NCE=2∠BAM。

這樣的分析，如果考生對于常見的、核心的幾何模型比較熟悉，則分析過程是“瞬間”完成的，如果對于這些模型不是很熟悉，則就需要通過一步一步的分析完成，明顯要花費(fèi)比較多的時(shí)間。

（2）當(dāng)45°< α < 90°時(shí)，探究∠NCE與∠BAM之間的數(shù)量關(guān)系，分析時(shí)可類比（1）進(jìn)行，如圖5所示，作出幾何圖形. 

圖5

顯然，∠NCE=∠MCE=2∠DAM=2（90°-∠BAM）=180°-2∠BAM.

角度推導(dǎo)屬于幾何綜合題中較難的類型，通過本題的上述分析可知，熟悉常見的幾何模型是角度推導(dǎo)能夠順利實(shí)現(xiàn)的先決條件。

下面來看（3），這是一道涉及幾何最值的問題。

關(guān)鍵是分析點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡。如圖6所示，根據(jù)題意可知，∠AEC始終為直角，因此，可知點(diǎn)E在正方形ABCD的外接圓上。

于是，根據(jù)幾何直觀，如圖7所示，可知當(dāng)點(diǎn)F、O、E三點(diǎn)共線時(shí)，線段EF取得最大值，EF的最大值為OF+OE的值.

            圖6                                                 圖7

這里在分析線段EF的最值時(shí)，用到的幾何模型主要有兩個(gè)，一個(gè)是三角形任意兩邊之和大于第三邊，另一個(gè)是圓上一點(diǎn)到圓內(nèi)一點(diǎn)距離的最大值。

【標(biāo)準(zhǔn)答案】

（1）①補(bǔ)全的圖形如圖8所示．……1分

②∠NCE=2∠BAM．……2分

（2）當(dāng)45°<α<90°時(shí)，．……3分

證明：

如圖9，連接CM，設(shè)射線AM與CD的交點(diǎn)為H．

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，

直線BD為正方形ABCD的對稱軸，

點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于直線BD對稱．

∵射線AM與線段BD交于點(diǎn)M，

∴∠BAM=∠BCM=α．

∴∠1=∠2=．

∵ CE⊥AM，

∴∠CEH=90°，∠3+∠5=90°．

又∵∠1+∠4=90°，∠4=∠5，

∴∠1=∠3．

∴∠3=∠2=．

∵點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于直線CE對稱，

∴∠NCE=∠MCE=∠2+∠3=．…… 6分

             圖8                               圖9

【反思】

1.本題在讀題時(shí)需要首先作出圖形，然后才能更好地理解圖形中蘊(yùn)藏的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，屬于送分題。但是這樣的作圖過程，又是幫助考生迅速深入題目情景，熟悉圖形生成過程的關(guān)鍵步驟。

2.通過本題的分析，再次體現(xiàn)出幾何模型對于幾何綜合題的重要作用，幾何模型的積累過程貫穿整個(gè)初中階段幾何板塊的學(xué)習(xí)過程，需要高度重視，并且要系統(tǒng)進(jìn)行。

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