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【讀題】

讀題過程中不僅要獲取題干有效信息，更重要的是在自己在記憶中篩選出對應的幾何模型和解題方法。這就要求考生在平時進行系統(tǒng)的總結歸納，以便在考場上快速有效地進行分析。

本題是正方形背景下的等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)問題，也可以認為是共直角頂點的雙等腰直角三角新的旋轉(zhuǎn)模型。如果考生已經(jīng)對此進行了系統(tǒng)的總結，在分析時就更有可能快速獲得解題思路。

本題第（1）問作圖，屬于送分題；（2）①需要證明三條線段的數(shù)量關系，這樣的問題設置大大降低了分析的難度；（2）②要求直接寫出答案，在作圖正確的前提下，憑借幾何直觀可以準確獲得答案。因此，這個小問題的難度就在于做出正確的幾何圖形，但是，要想正確地作出圖形，又要求考生有一定的邏輯推理能力。         

【分析】

（1），依題意補全圖形，送分題。如下圖2所示。

首先作出示意圖如圖3所示，作圖不要求完全準確，不要在做圖上耽誤太多時間。

觀察結論可知需要構造直角三角形，又根據(jù)等式右邊式子特征可知需要借助正方形的對角線，因此連接BD，可獲得解題思路。

顯然，△APQ為直角三角形，則∠Q=∠APQ=45°，下面采取不同的方法進行證明。

方法三：

如圖5所示，因為∠ABD=∠APD=45°，可知點P在正方形ABCD的外接圓圓O上，且BD為圓O的直徑，顯然∠BPD=90°，下面從略。

（2）②，重新看一下題目要求：若點P，Q，C恰好在同一直線上，判斷線段BP與AB的數(shù)量關系并直接寫出答案。

首先是作出大致的草圖，如圖6所示。通過“幾何直觀”可知BP和AB相等，下面需要綜合應用正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)進行證明。

下面采用三種不同的思路（涉及到多種方法）對這個問題進行較為詳細的探究和分析。

思路一：全等三角形和直角三角形斜邊中線

方法一：

如圖6所示，延長CD至F，使得DF=DC，連接AF，QF，

可知△APQ和△ACF均為等腰直角三角形，

又可證△AQD≌△APB（SAS），得QD=PB，

又AF=AC，∠FAQ=∠CAP，AQ=AP，

所以△AQF≌△APC（SAS），

所以∠AQF=∠APC=45°，

于是∠CQF=∠AQC+∠AQF=90°，

于是在Rt△FCQ中，因為D為FC的中點，

所以DQ=DC=AB.

方法二：

如圖7所示，延長CB至E，使得BE=CB，連接AE，PE，

可知△AQF和△ACE均為等腰直角三角形，

又可證△AQD≌△APB（SAS），得DQ=BP，

因為AQ=AP，∠QAC=∠PAE，AC=AE，

所以△AQC≌△APE（SAS），

得∠APE=∠AQC=45°，所以∠CPE=90°，

在Rt△CPE中，BP=BC=AB.

上述兩種運用全等的方法，是等腰三角形的構造在幾何綜合題中的典型的應用，通過兩次證明全等，實現(xiàn)結論的證明。這是幾何綜合題的常規(guī)的、典型的類型。

思路二：構造相似三角形

方法三：

如圖8所示，連接AC，分別取PQ、AC中點G、O，連接AG，OG，

延長AD至E，使DE=AD，連接QE，

可得∠AGC=90°，

因為∠QAG=∠DAC=45°，所以∠QAE=∠GAC，

所以△AQE∽△AGC（SAS），

得∠AQE=∠AGC=90°，

于是DQ=DA=AB.

方法四：

如圖9所示，延長AB至F，使BF=AB，連接PF，

連接AC，分別取AC、PQ的中點O、G，連接AG、OG，

讀者可仿照方法三的分析，自行完成證明過程，在此不再贅述。

方法五：

如圖10所示，連接AC，分別取AC、PQ的中點O、G，連接AG，OG，

不難證明∠AGC=90°，∠BAC=∠GAP=45°，

于是∠BAP=∠OAG，

這種方法在本質(zhì)上與方法五是相同的.

方法六：

如圖11所示，連接AC，分別取AC、PQ的中點O、G，連接AG、OG、BG，

因為∠QAC=∠QAG+∠GAC，∠GAB=∠BAC+∠GAC，

所以∠QAC=∠GAB，

所以∠AGB=∠AQC=45°，

又GA=GP，于是可得GB為AP的垂直平分線，所以AB=PB.

上述四種運用相似的方法的證明的過程，是從共端點的等腰三角形這樣的基本模型出發(fā)，通過對線段關系的不斷轉(zhuǎn)發(fā)實現(xiàn)線段相等的證明的。

思路三：輔助圓

鑒于本題的特殊性，如果構造恰當?shù)妮o助圓進行角度的推導，可以較為簡便的完成證明過程，下面采取不同的角度進行分析。

方法七：

如圖12所示，以為∠ADC=2∠AQC=90°，所以點Q在以點D為圓心，DA為半徑的圓上，

不難證明△ADQ≌△ABP（SAS），

可得DQ=BP，所以DQ=DA=BP=AB。

方法八：

如圖13所示，因為∠ABC=2∠APC，可知點P在以點B為圓心，BA為半徑的圓上，

顯然可得BP=AB。

方法九：

如圖13所示，取PQ中點G，連接AG，AC，BG，

可得∠AGC=∠ADC90°，所以點G在正方形ABCD外接圓上，

于是∠BGA=∠BCA=45°，所以GB平分∠AGC，

由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可知GB為AP垂直平分線線，所以BP=AB.

方法十：

如圖14所示，連接BD，交AP與點H，連接CH，

因為∠CPH=∠CBD=45°，所以點B、P、C和H為圓的內(nèi)接四邊形，

所以∠BPH=∠BCH=∠BAH，所以BP=AB.

上述四種輔助圓的方法，是建立在深刻理解圖形的數(shù)量關系和位置關系的基礎之上的。毫無疑問，輔助圓在角度的轉(zhuǎn)換和線段的相等的證明過程中，顯得“簡單高效”。

【反思】

1. 幾何綜合題的問題設置是分層次，比如“依題意補全圖形”就屬于較為簡單的類型，這樣的問題要確保能夠拿到分數(shù).

2. 對于較為復雜的幾何綜合題，要根據(jù)“幾何直觀”獲得分析方向，還要根據(jù)“邏輯推理”獲得分析方法。對于憑借“幾何直觀”就可以獲得的分數(shù)要志在必得.

3. 本題（2）②還隱藏著一個很重要的等腰直角三角形，如下圖所示，取BQ的中點N，取PQ的中點G，連接ON，NG，則△ONG為等腰直角三角形。當然，也可以取DP的中點為N。這個模型在各類考試題中也時有出現(xiàn)，比較經(jīng)典的如2015年安徽中考的幾何綜合題.

4. 深入分析，可以發(fā)現(xiàn)本題的最后一問的證明過程中，充分運用了共直角頂點的等腰三角形的旋轉(zhuǎn)變化，希望考生能夠重視這樣的幾何模型的構造和應用，并熟悉其中的數(shù)量關系和位置關系。

5. 最后對線段相等的解題思路進行總結。證明兩條線段相等的思路主要有以下幾個方面：

從角度考慮：在同一三角形中等角對等邊；同圓（或等圓）中借助圓周角、圓心角相等得到其所對的弦相等。

從線段考慮：線段中垂線上的點到線段兩端點的距離相等；角平分線上的點到角的兩邊的距離相等；平行的兩條直線間的距離處處相等；關于某直線（或某點）對稱的兩點到直線（或某點）的距離相等；圓的垂徑定理涉及到的相等線段；從圓外一點引圓的兩條切線長度相等。

從圖形考慮：全等形的對應邊相等；直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊一半；含30°角的直角三角形的斜邊是30°角所對邊的二倍；三角形和梯形中位線和底邊的關系；平行四邊形（當然包括矩形、菱形、正方形）的對邊相等，對角線互相平分等；以及正多邊形（如正方形、正六邊形等）中邊與對角線、對角線于對角線之間的相等、和差、倍分關系。

從計算考慮：直接計算兩條線段相等；等量代換轉(zhuǎn)換計算；運用比例式、等積式轉(zhuǎn)換計算。

從運用方法考慮：如比較常見的面積法、割補法等基本的方法。

從幾何變換的角度考慮：如旋轉(zhuǎn)、對稱、平移三大幾何變換涉及到的基本模型中產(chǎn)生的相等線段，以及在解題中總結的與此相關的各類模型中的相等線段。

當然，在平時的解題中，還會涉及到“角分線+對角互補”、“角分線+平行線”等模型中產(chǎn)生的相等線段。

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