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【題目】

如圖1，Rt△ABC中，∠ACB =90°，CA =CB，過點C在△ABC外作射線CE，且∠BCE =α，點B關(guān)于CE的對稱點為點D，連接AD，BD，CD，其中AD，BD分別交射線CE于點M，N.

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

（2）當(dāng)= 30°時，直接寫出∠CMA的度數(shù)；

（3）當(dāng)0°<< 45°時，用等式表示線段AM，CN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

【讀題】

題干除了交代△ABC為等腰直角三角形、∠BCE=α之外，還描述了一個簡單的作圖過程，在讀題的同時需要將圖形補(bǔ)全，這也是（1）的作答要求，補(bǔ)全的圖形如圖2所示。

（2）當(dāng)α= 30°時，直接寫出∠CMA的度數(shù)，顯然，憑借幾何直觀可得∠CMA=45°，這一步并沒有要求考生進(jìn)行邏輯推理，而是“直接寫出結(jié)果”，因此，考場作答時不要在此耽誤時間。

（3）要求分析線段AM，CN之間的數(shù)量關(guān)系，而且明確要求“用等式表示”，又因為二者并不相等，因此，題目“暗示”二者之間應(yīng)該是“倍數(shù)”關(guān)系，需要分析這個倍數(shù)是多少，至此，可以大膽猜測AM=根號2倍的CN，這里，完全是根據(jù)解題經(jīng)驗和直覺，下面需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?，此之謂“大膽假設(shè)、小心求證”。

【分析】

（1）按照題干要求進(jìn)行作圖即可，送分題。

（2）角度的分析和計算，雖然題目要求直接寫出結(jié)論，這里還是進(jìn)行較為深入的分析，以便幫助考生更好地理解各線段之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。下面采用不同的方法進(jìn)行分析。

上面兩種思路，都是基于AM進(jìn)行等腰直角三角形的構(gòu)造，兩種方法都是來源于“一個站著的和一個躺著的直角三角形”這樣的幾何模型展開的（圖5中是△BCN和△ACG，圖6是△BCN和△BMN），其中方法三也是“斜直角”常見的處理方式，而方法四“隱藏”著一個平行四邊形ACNH。

上述兩種方法，都是基于共直角頂點的雙等腰直角三角形這樣的基本的幾何模型展開的。

當(dāng)然，如果采用圖10的輔助線作法，還可以采取另外的一種方法進(jìn)行證明：

思路三涉及到的五種方法，是一種“系統(tǒng)性”分析問題的方法——一旦確定證明的方向，即基于CN構(gòu)造等腰直角三角形，那么分別以點C和N為直角頂點，在兩個方向上一共就可以采取四種不同的構(gòu)造方法。這種系統(tǒng)性的思維方式，是幾何思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的精華所在。

圖13中如果過點M、C向AG作垂線，可以發(fā)現(xiàn)有上述不同方法的“影子”，同時，也使得圖形“豁然開朗”。除此之外，圖13中還暗含了∠AGD的角分線的軸對稱圖形.

【反思】

1. 本題是一道經(jīng)典的幾何綜合題，涉及到作圖、角度的幾何直觀以及線段數(shù)量關(guān)系的邏輯證明.

2. 最后一問，線段根號2倍難度不大，不同的突破口可以獲得不同的思維方式?？忌谕瓿山獯鹬?，至少要從以下三個不同的層次進(jìn)行思考：

第一，兩條線段根號2關(guān)系證明題的解題策略：模型構(gòu)造，以及借助構(gòu)造的模型進(jìn)行分析，構(gòu)建的模型在進(jìn)行問題求解是是否有比較難以逾越的“障礙”？比如角度推導(dǎo)；

第二，幾何綜合題的解題策略，包括以下幾個方面：大膽假設(shè)和小心求證的一般思路，發(fā)展條件和轉(zhuǎn)化結(jié)論的操作方法，解題經(jīng)驗和待解問題的有效聯(lián)系，類比、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用；模型構(gòu)造對于解決問題的作用是如何體現(xiàn)的？

第三，也是最深層次的內(nèi)容，需要結(jié)合認(rèn)識規(guī)律進(jìn)行：通過解題是否能夠更加系統(tǒng)地理解解決問題的處理方式，這樣的經(jīng)驗與以往的經(jīng)驗是否類似，同時，還要通過解決“下一個”問題來檢驗這樣的分析方法是否有效和完善。

3. 本題在解決最后一問是，“構(gòu)造法”起到了至關(guān)重要的作用，即以AM為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形和以CN為直角邊構(gòu)造等腰直角三角形?！皹?gòu)造法”作為一種重要的化歸手段，是一種極富技巧性、系統(tǒng)性和創(chuàng)造性的解題方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中觀察、猜想、探究、發(fā)現(xiàn)、類比、化歸等數(shù)學(xué)思想方法。

4. 最后，再來談一下系統(tǒng)性思維對于幾何題分析過程中的積極作用。比如本題中，以CN為直角邊構(gòu)造等腰直角三角形時，分別以點C、N為直角頂點，在線段CN的兩側(cè)，可以采取四種不同的構(gòu)造方法，這樣的分析是值得學(xué)習(xí)和引起重視的。事實上，有很多涉及到“構(gòu)造”或者“幾何變換”的問題，如果采取“系統(tǒng)性”的分析方法，必然會獲取更多的解題方法。掌握了這個高層次的思維方式和認(rèn)識模式，比掌握一些輔助線的處理技巧，顯得更加重要和有效。

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