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第一部分  選擇題

選擇題  第8題

頻率與概率  數(shù)據(jù)分析

本題答案：C。

【解析】

此題屬于頻率與概率知識點的考察。主要考察通過大量的重復(fù)試驗，可以用隨機事件發(fā)生的頻率估計它的概率。

與此題類似的是北京2017年的選擇題最后一題：

第二部分  填空題

填空15題 

數(shù)學(xué)思維解決現(xiàn)實問題

本題答案：16；29.

【解析】

第一個空比較容易，難點在于第二個空。

如何計算該班人數(shù)的最小值，最好借助圖形進行分析。如下圖所示，思想品德和地理重合的人數(shù)最多，則班級總?cè)藬?shù)最少。嚴(yán)格說來，這是高中《集合》章節(jié)韋恩圖的應(yīng)用，這個類型在北京高考中也曾出現(xiàn)過，屬于高考試題的改編。

填空16題 

數(shù)學(xué)思維解決現(xiàn)實問題

本題答案：便攜性。

【解析】

散點圖屬于高頻考點。但是我個人覺得這個空如果能夠明確限定一下保溫性還是便攜性，方便考生對此進行選擇，可能會更好。另外，如何判斷哪個性能更好呢？這才是這道題要考察的目標(biāo)?？梢宰龀鲋本€y=x，看看各個性能對綜合質(zhì)量名次的貢獻，即可比較出優(yōu)勢所在。

無論如何，讀題、審題都非常重要！

第三部分  解答題

解答22題 

圓的證明與計算

【解析】

圓的小綜合，在量的積累的基礎(chǔ)上，需要進行熟練掌握?？傆幸恍┏煽兒玫目忌谶@個題型上耽誤時間，要么費了好大勁終于克服困難做出來了，要么是費了好大勁還是無功而返，哪一種情況出現(xiàn)都不是好現(xiàn)象。

解答23題 

一次函數(shù)與反比例函數(shù)

【解析】

這道題目還是有一定難度的。第一問比較簡單，難就難在第二問，具體來講，是不太好畫圖，因此也就不容易得出具體的數(shù)學(xué)表達(dá)式進行計算分析，建議考生拿出直尺慢慢移動，在此過程中，可以借助幾何直觀，拿出鉛筆輕輕劃線找到恰當(dāng)?shù)奈恢弥笤龠M行分析——除此之外，沒有更好地辦法。

如圖所示，分兩種情況進行討論：

當(dāng)a>0時，O'(a,a),A'(a,a-2),P(a,4/a),

則可得：a≥4/a,a-2≤4/a;

當(dāng)a<0時，O'(a,a),A'(a,a-2),P(a,4/a),

則可得：a≥4/a,a-2≤4/a;

細(xì)心地讀者會發(fā)現(xiàn)，解不等式其實都是一樣的，僅僅是a的正負(fù)不同，據(jù)此可以得出標(biāo)答的正確答案，具體過程從略。

第四部分  壓軸題

解答26題 

代數(shù)壓軸題

【解析】

這道試題第一問很容易，B(4,-3)。第二問，相比于東西海三區(qū)，難度最大。主要是這個動態(tài)過程不太好把握，邏輯推理和幾何直觀高度配合，對草圖的精確度還有一定的要求。

先分析最簡單的情形，即頂點恰好落在線段AB上時，此時a=1，如下圖所示，滿足要求。當(dāng)然，考生也可以依據(jù)極限位置分析，當(dāng)頂點在y軸正方向無窮遠(yuǎn)處時，無論怎樣翻折都，新圖像都不可能與線段AB有兩個公共點。當(dāng)頂點往下移動時，首先可能滿足要求的就是頂點落在線段AB上這種情況。

當(dāng)頂點繼續(xù)向下運動，如下圖所示，新圖像與線段AB有三個公共點，不滿足要求。

當(dāng)頂點繼續(xù)向下運動，如下圖所示，當(dāng)原拋物線經(jīng)過點A時，第一個臨界位置出現(xiàn)，此時a=0，顯然，這個值不可能取等號，下面的分析也可以幫助考生理解這里為什么不能取等號。

拋物線繼續(xù)往下移動，原函數(shù)圖象與y軸交點落在點A下方時，滿足條件的情形出現(xiàn)，此時，a-3<-3，即a<0。當(dāng)拋物線繼續(xù)向下運動時，下一個臨界位置出現(xiàn)在什么位置呢？

當(dāng)拋物線繼續(xù)向下運動，新圖像與線段AB的兩個交點重合，此時為新的臨界狀態(tài)。如下圖所示，此時a=-3，顯然，這個臨界位置不可取等號。

綜上可知，a的取值范圍為：-3<a<0或a=1.

【反思】

本題的難點在于動態(tài)變化過程中的圖形不太好作出草圖，而且臨界位置又需要同時分析幾何直觀和計算推理，無形之中都增大了解題的難度。

試題的形式一旦發(fā)生變化，考生就會覺得難度增加，越是這樣的時候，就越考驗考生“基本動作”的熟練程度，如果平時的解題經(jīng)驗和心得體會不能內(nèi)化到自己的思維模式當(dāng)中，不能融化在血液里，那一定會為題海戰(zhàn)術(shù)付出代價。

有些時候，這些反復(fù)強調(diào)的思考方式，雖然不能與生俱來，但是真的希望能夠融入到血液之中，揮之不去。這可能就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，最有價值的東西了吧。

解答27題 

幾何壓軸題

【解析】

朝陽的幾何綜合題，題干短小精悍，背景圖形是等腰直角三角形，貌似難度不大，但是以為輔助線的作法如果不熟悉，可能不大好入手分析。

補全圖形如下圖所示。結(jié)合題意，點D有兩個位置均可滿足題意。

(2)問，計算α的值，幾何直觀輕松可得答案為30°。那么如果證明呢？需要作出輔助線進行分析，輔助線的作法如下圖所示。可知四邊形AEFD為矩形，AE=DF。因為BC=2AE，則BD=BC=2AE=2DF，則Rt△BDF中可求得∠DBF為30°。

同理可得α的另一個值為150。

這個小問題有兩個特點：一個是需要分類討論，一個是角度的分析是通過計算得到的。希望考生能夠重視這個問題的分析方法。

(3)若AB=2，求AD的長度，依然也需要分類計算，結(jié)合上一問的結(jié)論，解簡單的直角三角形，這最后一問“一點都不難”，這么說，不知考生是否覺得委屈？

解答28題 

新定義壓軸題

【解析】

朝陽的新定義綜合題依然是“距離”。各個區(qū)縣在“距離”定義上不厭其煩的考，考生一定也不都會覺得陌生。本題這個定義的格式，歷史悠久，也是一道老的不能再老的新定義題目了，伴隨著北京中高考的改革一路走來，“折磨”了一屆又一屆的考生，高中生、初中生無一幸免幸免。這類試題，對思維品質(zhì)要求非常高，作出正確答案比較容易，但是要讓考生甚至新手老師講清楚、說明白卻也并不容易。

“直角距離”也叫做“出租車距離”，理解定義的關(guān)鍵在于這個距離是兩個數(shù)據(jù)的“和”，是兩個點向坐標(biāo)軸作垂線組成的直角三角形的兩條直角邊的長度之和。

第（1）問，幫助考生理解定義的送分題。

第（2）圈1，這是這道題目的關(guān)鍵部分，承上啟下。分析時，需要采取一定的步驟。直線被坐標(biāo)系四個象限分成了三段，分別分析當(dāng)點D位于直線在第四象限部分、直線在第二象限部分和直線的第一象限部分，如下圖所示。

第（2）圈2，需要重新理解圈1的解題經(jīng)驗。在圈1中，d(O,B)的最小值恰恰出現(xiàn)在點O的正上方，這是不是巧合？

思維鏈條比較長的題目，為了說得清楚，需要把思維放慢，鏈條分段，依據(jù)條件不斷獲取更多信息。我們需要分為三個步驟來處理這個問題。

第一個步驟：如下圖，不失一般性，在圓O上任意取定一點C，觀察點B在直線上運動時，d(B,C)的最小值如何求？當(dāng)點B為任意一點B1時，對應(yīng)的d(B,C)為Rt△B1CE的兩條直角邊的長度之和，當(dāng)點B位于點C正上方的B0時，此時d(B,C)的值為線段CB0的長度，顯然，CB0的長度應(yīng)該小于Rt△B1CE的兩條直角邊的長度之和（為什么？），于是當(dāng)點C位置確定時，過點C作x軸的垂線與直線交于點B及為所求，此時d(B,C)取最小值。

第二個步驟：當(dāng)點C在圓O上運動時，又該如何分析呢？由上面分析我們知道，d(B,C)的最小值其實就是當(dāng)CB平行y軸時的CB0的長度，那么CB0和哪個數(shù)值有關(guān)呢？如下圖，過點C向直線作垂線垂足為H，顯然，CB0的長度和垂線段CH的長短有關(guān)。因為∠CB0H的大小是固定的，所以當(dāng)CH最小值，CB0的值也最小。

第三個步驟：那么，CH什么時候取到最小值呢？這里用到一個典型的最值模型。過原點O向直線作垂線，此時的CH最?。槭裁?？），于是CB也最小，即d(B,C)取到最小值。結(jié)合基本直角三角形三邊關(guān)系，可以求得此時的最小值，計算過程如下圖所示。

【反思】

新定義試題的解題方法之前的試題解析中反復(fù)講過多次，在《北京中考數(shù)學(xué)壓軸題解題方法突破》中也詳細(xì)介紹過，在此就不再贅述?？忌雽⒋祟}完全弄明白，或者檢驗考生是否真正理解了分析的思路和思維的方法，我覺得最直接、高效的就是進行一下變式訓(xùn)練，可以從兩個角度進行思考：

變式一：(2)圈1中將固定直線改為過定點(-2,3)的直線，為了降低難度，可以限定直線不經(jīng)過第四象限，點B是此動直線上任意一點，求d(O,B)的最小值。提示：精確的答案需要結(jié)合直線斜率k值進行表達(dá)；此處可以只分析思維過程，而不必寫出具體答案。

變式二：(2)圈2中將直線的一次項系數(shù)中的負(fù)的四分之三，改成正的三分之四，其余條件不變，看看是否還能夠分析出正確的最值情形？提示：此處需要寫出精確的答案。

如果考生果真是理解并掌握了原題的分析方法，而不是看答案之后“恍然大悟”，那么自然可以輕而易舉地解決這兩個變式訓(xùn)練。自命不凡的高水平選手們，敢接受挑戰(zhàn)試一試么？

題外話：最近兩天多個數(shù)學(xué)群都在討論這個“距離”題目，但是都沒有見到關(guān)于此題前世今生比較準(zhǔn)確的闡述。這樣的“距離”，最初見于2010廣東高考數(shù)學(xué)理科卷壓軸試題，以“折線距離”出現(xiàn)，2014年福建高考中也作為選擇題壓軸題出現(xiàn)。廣東2010年高考之后，緊接著在2011年1月份的期末考試當(dāng)中，海淀西城都對其青睞有加，北京其他區(qū)縣隨后進行改造的題目也層出不窮。到了高中，這個類型的題目也會碰到，躲是躲不過的。

第五部分  總結(jié)與題外話

1. 朝陽這份試卷整體難度還是有的，比如填空題的最后兩道題，圓、代數(shù)壓軸題、幾何壓軸題、新定義壓軸題。

2. 做過的題目，看著眼熟的題目，是否真正理解，只需要將題目稍微進行變化，稍加創(chuàng)新，自然可以檢查出考生理解的程度，這份試卷在這個方面做得很好，比如代數(shù)綜合題，新定義綜合題等。

3. 北京考題，在關(guān)鍵題型、題號上，往往是拒絕進行題海戰(zhàn)術(shù)的，命題專家在這個地方苦心孤詣進行試題的命制，希望用最佳試題檢測出考生的思維品質(zhì)，因此，我們在備考的時候就一定要注意通性、通法的理解和掌握，要注重解題思路和技巧的歸納與總結(jié)，確保知識點上無漏洞?！肮视帽?，無恃其不來，恃吾有以待之，無恃其不攻，恃吾有所不可攻也?！庇帽▌t是不要寄望于敵軍不會來侵犯，而應(yīng)依靠自己有充分的準(zhǔn)備,嚴(yán)陣以待；不要寄望于敵軍不會來進攻，而要依靠自己堅固的防守，攻不可破。這句話對于高水平考試備考高分滿分也是一樣的道理，只有考前備考充分，知識體系和方法技巧總結(jié)的完備，才可以達(dá)到“勝兵先勝而后求戰(zhàn)”的要求，而不是相反的“敗兵先敗而后求勝”的被動局面。

4. 考試的最高境界，是會做的題目不出錯。不要輕易說“我會的”、“我馬虎了”，十五歲，是要為自己的失誤付出代價的年齡，也是要知道有一種心痛叫做“遺憾”的年齡。你會不會沒關(guān)系，失誤了就是做錯了，扣分也是應(yīng)該的，機會只有一次，就看你能不能把握住！

內(nèi)容簡介

第四版

《北京中考數(shù)學(xué)壓軸題解題方法突破》

本書是北京市第一本運用解題理論、采用“編年體”形式對中考數(shù)學(xué)壓軸題的應(yīng)試策略、分析方法和解題思路進行透徹解析的專業(yè)書籍.

對于中考解答題中的幾何綜合題、新定義類型綜合題、代數(shù)綜合題，以及操作與實踐、推理與探究等以“生成性資源”為背景的解答題，選用最能反映命題趨勢的經(jīng)典試題，進行深入解析，注重解題經(jīng)驗的傳授與解題能力的提升，幫助考生養(yǎng)成科學(xué)的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣.同時以微專題的形式兼顧選擇題和填空題中的壓軸題.

本書可作為初中生中考沖刺用書，亦可作為命題專家、教研員、一線教師和教育界相關(guān)人士研究北京中考數(shù)學(xué)壓軸題的參考書籍.

《北京中考數(shù)學(xué)壓軸題解題方法突破》由我與北京四中范興亞博士共同編寫，西城區(qū)教育研修院黃婉華老師做序推薦，每年一版，專門指導(dǎo)北京考生進行中考備考沖刺。第一版獲當(dāng)當(dāng)網(wǎng)新書暢銷榜中考數(shù)學(xué)類第一名。2019年考生專用第四版，各大電商網(wǎng)站均可購買。

最近很多讀者與我聯(lián)系詢問購買前三版的情況，前三版脫銷版本在網(wǎng)上都是原價幾十倍的價格。前幾版我也沒有多余的書籍，請讀者不要再與我聯(lián)系。為了方便讀者，后續(xù)我會將前幾版的精彩解析在這個公眾號內(nèi)推送，敬請關(guān)注！謝謝！

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