點(diǎn)擊領(lǐng)取>>>北京中考真題、北京各區(qū)初三一模、二模試卷及答案解析匯總

等距點(diǎn)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于P，Q兩點(diǎn)給出如下定義：若點(diǎn)P到x、y軸的距離中的最大值等于點(diǎn)Q到x、y軸的距離中的最大值，則稱P，Q兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”．下圖中的P，Q兩點(diǎn)即為“等距點(diǎn)”．

(1)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3，1)，

①在點(diǎn)E(0，3)，F(3，-3)，G(2，-5)中，為點(diǎn)A的“等距點(diǎn)”的是________；

②若點(diǎn)B在直線y=x+6上，且A，B兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________；

(2)直線l：y=kx-3(k>0)與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，

①若(-1,)，(4,)，是直線l上的兩點(diǎn)，且與為“等距點(diǎn)”，求k的值；

②當(dāng)k=1時(shí)，半徑為r的⊙O上存在一點(diǎn)M，線段CD上存在一點(diǎn)N，使得M，N兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”，直接寫出r的取值范圍．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于P，Q兩點(diǎn)給出如下定義：若點(diǎn)P到x、y軸的距離中的最大值等于點(diǎn)Q到x、y軸的距離中的最大值，則稱P，Q兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”．下圖中的P，Q兩點(diǎn)即為“等距點(diǎn)”．

(1)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3，1)，

①在點(diǎn)E(0，3)，F(3，-3)，G(2，-5)中，為點(diǎn)A的“等距點(diǎn)”的是________；

②若點(diǎn)B在直線y=x+6上，且A，B兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________；

(2)直線l：y=kx-3(k>0)與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，

①若(-1,)，(4,)，是直線l上的兩點(diǎn)，且與為“等距點(diǎn)”，求k的值；

②當(dāng)k=1時(shí)，半徑為r的⊙O上存在一點(diǎn)M，線段CD上存在一點(diǎn)N，使得M，N兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”，直接寫出r的取值范圍．

【解析】

又見距離類的新定義。第一問的圈1和圈2，難度都不算大，讀懂題意即可得分。

第二問的圈1，兩個(gè)點(diǎn)四個(gè)坐標(biāo)，如果成為等距點(diǎn)，分類討論即可，無非是橫縱坐標(biāo)分別相等，一定要注意再驗(yàn)證一下，難度和計(jì)算量都不大。

第二問的圈2，需要認(rèn)真思考。

先來分析線段CD上的任意一點(diǎn)“到坐標(biāo)軸距離的最大值”的最大值和最小值，當(dāng)點(diǎn)N位于CD中點(diǎn)時(shí)，取得最小值，當(dāng)點(diǎn)N位于端點(diǎn)時(shí)，取得最大值，因此，線段CD上任意一點(diǎn)“到坐標(biāo)軸的距離”取值范圍是大于等于3/2，小于等于3。

再來分析當(dāng)圓的半徑發(fā)生變化時(shí)，點(diǎn)M“到坐標(biāo)軸的距離”應(yīng)該能夠覆蓋的了3/2到3這個(gè)范圍。因此，圓上點(diǎn)M的“到坐標(biāo)軸的距離”的最大值為3/2時(shí)，圓的半徑為3/2，圓上點(diǎn)M的“到坐標(biāo)軸的距離”的最小值為3時(shí)，圓的半徑為3倍的根號2。因此，可得圓的半徑。

朝陽區(qū)

直角距離

【解析】

朝陽的新定義綜合題依然是“距離”。各個(gè)區(qū)縣在“距離”定義上不厭其煩的考，考生一定也不都會(huì)覺得陌生。本題這個(gè)定義的格式，歷史悠久，也是一道老的不能再老的新定義題目了，伴隨著北京中高考的改革一路走來，“折磨”了一屆又一屆的考生，高中生、初中生無一幸免幸免。這類試題，對思維品質(zhì)要求非常高，作出正確答案比較容易，但是要讓考生甚至新手老師講清楚、說明白卻也并不容易。

“直角距離”也叫做“出租車距離”，理解定義的關(guān)鍵在于這個(gè)距離是兩個(gè)數(shù)據(jù)的“和”，是兩個(gè)點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線組成的直角三角形的兩條直角邊的長度之和。

第（1）問，幫助考生理解定義的送分題。

第（2）圈1，這是這道題目的關(guān)鍵部分，承上啟下。分析時(shí)，需要采取一定的步驟。直線被坐標(biāo)系四個(gè)象限分成了三段，分別分析當(dāng)點(diǎn)D位于直線在第四象限部分、直線在第二象限部分和直線的第一象限部分，如下圖所示。

第（2）圈2，需要重新理解圈1的解題經(jīng)驗(yàn)。在圈1中，d(O,B)的最小值恰恰出現(xiàn)在點(diǎn)O的正上方，這是不是巧合？

思維鏈條比較長的題目，為了說得清楚，需要把思維放慢，鏈條分段，依據(jù)條件不斷獲取更多信息。我們需要分為三個(gè)步驟來處理這個(gè)問題。

第一個(gè)步驟：如下圖，不失一般性，在圓O上任意取定一點(diǎn)C，觀察點(diǎn)B在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，d(B,C)的最小值如何求？當(dāng)點(diǎn)B為任意一點(diǎn)B1時(shí)，對應(yīng)的d(B,C)為Rt△B1CE的兩條直角邊的長度之和，當(dāng)點(diǎn)B位于點(diǎn)C正上方的B0時(shí)，此時(shí)d(B,C)的值為線段CB0的長度，顯然，CB0的長度應(yīng)該小于Rt△B1CE的兩條直角邊的長度之和（為什么？），于是當(dāng)點(diǎn)C位置確定時(shí)，過點(diǎn)C作x軸的垂線與直線交于點(diǎn)B及為所求，此時(shí)d(B,C)取最小值。

第二個(gè)步驟：當(dāng)點(diǎn)C在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，又該如何分析呢？由上面分析我們知道，d(B,C)的最小值其實(shí)就是當(dāng)CB平行y軸時(shí)的CB0的長度，那么CB0和哪個(gè)數(shù)值有關(guān)呢？如下圖，過點(diǎn)C向直線作垂線垂足為H，顯然，CB0的長度和垂線段CH的長短有關(guān)。因?yàn)椤螩B0H的大小是固定的，所以當(dāng)CH最小值，CB0的值也最小。

第三個(gè)步驟：那么，CH什么時(shí)候取到最小值呢？這里用到一個(gè)典型的最值模型。過原點(diǎn)O向直線作垂線，此時(shí)的CH最?。槭裁矗浚?，于是CB也最小，即d(B,C)取到最小值。結(jié)合基本直角三角形三邊關(guān)系，可以求得此時(shí)的最小值，計(jì)算過程如下圖所示。

【反思】

新定義試題的解題方法之前的試題解析中反復(fù)講過多次，在《北京中考數(shù)學(xué)壓軸題解題方法突破》中也詳細(xì)介紹過，在此就不再贅述?？忌雽⒋祟}完全弄明白，或者檢驗(yàn)考生是否真正理解了分析的思路和思維的方法，我覺得最直接、高效的就是進(jìn)行一下變式訓(xùn)練，可以從兩個(gè)角度進(jìn)行思考：

變式一：(2)圈1中將固定直線改為過定點(diǎn)(-2,3)的直線，為了降低難度，可以限定直線不經(jīng)過第四象限，點(diǎn)B是此動(dòng)直線上任意一點(diǎn)，求d(O,B)的最小值。提示：精確的答案需要結(jié)合直線斜率k值進(jìn)行表達(dá)；此處可以只分析思維過程，而不必寫出具體答案。

變式二：(2)圈2中將直線的一次項(xiàng)系數(shù)中的負(fù)的四分之三，改成正的三分之四，其余條件不變，看看是否還能夠分析出正確的最值情形？提示：此處需要寫出精確的答案。

如果考生果真是理解并掌握了原題的分析方法，而不是看答案之后“恍然大悟”，那么自然可以輕而易舉地解決這兩個(gè)變式訓(xùn)練。自命不凡的高水平選手們，敢接受挑戰(zhàn)試一試么？

題外話：這樣的“距離”，最初見于2010廣東高考數(shù)學(xué)理科卷壓軸試題，以“折線距離”出現(xiàn)，2014年福建高考中也作為選擇題壓軸題出現(xiàn)。廣東2010年高考之后，緊接著在2011年1月份的期末考試當(dāng)中，海淀西城都對其青睞有加，北京其他區(qū)縣隨后進(jìn)行改造的題目也層出不窮。另外，北京高考對于“距離”的考察，曾推廣到了n元有序數(shù)組之中，作為創(chuàng)新題出現(xiàn)在理科卷的壓軸題位置。

通州區(qū)

對稱

【解析】

此類試題單純的考察“對稱”，需要首先通過做草圖的方式尋找解題思路，然后再結(jié)合分析其數(shù)量特征，也即確定點(diǎn)的坐標(biāo)。最后兩個(gè)問題，可以借助下面的圖示進(jìn)行分析。

此類對稱問題的分析，本質(zhì)上也是動(dòng)態(tài)變化的分析，因此，依然可以遵循動(dòng)態(tài)類試題的解題通法、解題原則進(jìn)行。

另外，關(guān)于這樣的對稱，還可以借助2019年朝陽一模的一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題進(jìn)行對比分析（2019年朝陽中考一模數(shù)學(xué)試題深度解析）。

請考生思考一下，解決動(dòng)態(tài)問題的一般原則和方法是什么？自己是否在不同的題目中進(jìn)行對比、并對分析方法不斷進(jìn)行總結(jié)歸納呢？是否在隨后的練習(xí)之中再次進(jìn)行檢驗(yàn)?zāi)兀?br/>

西城區(qū)

平衡點(diǎn)

【解析】

最后一問的突破點(diǎn)在于如何利用“弧HK上的任意兩點(diǎn)都是圓C的一對平衡點(diǎn)”，為此，考慮特殊情況，即找三個(gè)特殊點(diǎn)，如圖所示，三個(gè)特殊點(diǎn)分別為切點(diǎn)S，端點(diǎn)H和K，具體可知，需使得線段ST=HM=KN=4，可得滿足條件時(shí)必有CH≤6且CK≤6。

請考生思考一下，在處理前所未見、無從下手的問題時(shí)，自己是如何尋找突破口的呢？這樣的處理方法在分析解決新定義題目中是否都是適用的呢？處理這樣不可預(yù)見的難點(diǎn)如何準(zhǔn)備才算是未雨綢繆？

石景山區(qū)

正方距

【解析】

石景山這道題第一問很簡單；第二問，我個(gè)人的感覺是表述的不夠精確，取最小值到底是一種什么樣的情形，值得細(xì)細(xì)推敲；最后一問，屬于傳統(tǒng)的考察，半徑一定的動(dòng)圓，如下圖所示的臨界位置，圖中黃色的直角三角形時(shí)分析和計(jì)算的關(guān)鍵。

豐臺區(qū)

等邊依附點(diǎn)

【解析】

最后一問屬于難點(diǎn)，據(jù)傳這個(gè)題目有兩個(gè)版本的標(biāo)準(zhǔn)答案。正確標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)該是上面的這個(gè)答案。如何分析這個(gè)問題？關(guān)鍵還是要充分理解題意，而要使得分析顯得“一目了然”，還需要一些技巧。本題，圓上的點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，線段長度不確定位置更是“飄忽不定”，無形之中使得分析顯得困難，如何做出這個(gè)等邊三角形就是關(guān)鍵之中的關(guān)鍵。

如下左圖，當(dāng)圓的半徑相對于線段長度足夠小時(shí)，顯然，滿足條件，圓上任意一點(diǎn)都可以成為線段的“等邊依附點(diǎn)”，因此，可以確定線段的長度上限是無窮大。

如下右圖，當(dāng)圓的半徑相對于線段長較大時(shí)，必然不能保證圓上的任意一點(diǎn)都成為線段的“等邊依附點(diǎn)”，因此，圓的半徑不可能無限小。

所以，我們需要求出線段長度的最小值。

如下圖所示，當(dāng)線段長度從小到大變化的過程中，存在如下臨界狀態(tài)，考生可以借助這個(gè)圖形進(jìn)行理解分析。

同時(shí)，考生要思考一個(gè)問題，圖中這個(gè)位置求出的線段長是否可以取到？即不等號是否可以取到等號？為什么？是否可以借助題干信息或者圖示進(jìn)行說理？更進(jìn)一步，是否可以從幾何直觀上一目了然的感知到臨界的情形是否包含等號？

房山區(qū)

關(guān)聯(lián)整點(diǎn)

【解析】

本題難度不大，結(jié)合下面兩幅圖可以比較容易解決最后兩個(gè)小問題。

門頭溝區(qū)

關(guān)聯(lián)點(diǎn)

【解析】

本題在分析時(shí)，對作草圖也有比較高的要求。最后一問，作圖的關(guān)鍵是搞清楚點(diǎn)P的位置，點(diǎn)P在圓上，這個(gè)條件需要繼續(xù)加強(qiáng)，不然分析起來有難度。

密云區(qū)

直角距離

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知P(x1，y1)Q(x2，y2)，定義P、Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對值與縱坐標(biāo)之差的絕對值的和為P、Q兩點(diǎn)的直角距離,記作d(P，Q).

即d(P，Q)=|x2-x1|+|y2-y1|

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A（1，4），B（5，2），

則d(A，B)=|5-1|+|2-4|=6. 

（1）如圖2，已知以下三個(gè)圖形：

 ①以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓；

 ②以原點(diǎn)為中心，4為邊長，

  且各邊分別與坐標(biāo)軸垂直的正方形；

③以原點(diǎn)為中心，對角線分別在兩條坐標(biāo)軸上，對角線長為4的正方形.

     點(diǎn)P是上面某個(gè)圖形上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足d（O，P）=2 總成立.寫出符合題意的圖形對應(yīng)的序號________.

（2）若直線 上存在點(diǎn)P使得d（O，P）=3，求k的取值范圍.  

（3）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，P為動(dòng)點(diǎn)，且d（O，P）=3，圓心為M（t，0），半徑為1.  若上存在點(diǎn)N使得PN=1，求t的取值范圍. 

【解析】

這類試題，屬于傳統(tǒng)的模仿性試題了，非常適合考生拿來練手，最后兩問，可以借助下面的兩幅圖進(jìn)行分析。需要說明的是，有不少新定義的綜合題，在分析參數(shù)的取值范圍是，有四個(gè)臨界位置，這時(shí)，需要注意一些計(jì)算的技巧，盡量減少計(jì)算量。

考生思考一下，本題的分析方法自己此前是否曾經(jīng)遇到過？四個(gè)臨界值的問題，不同題目的相同之處是什么？如果回答“否”——那么，我可以很客觀——但絕不是冷漠——地告訴你，你為中考新定義做的準(zhǔn)備遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠或者說，你的努力跑偏了。如果你想挑戰(zhàn)高分滿分，需要找對方向、加把勁兒了！

平谷區(qū)

等距點(diǎn)

對于平面直角坐標(biāo)系xoy中的圖形P，Q，給出如下定義：M為圖形P上任意一點(diǎn)，N為圖形Q上任意一點(diǎn)，如果M，N兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱這個(gè)最小值為圖形P，Q間的“非常距離”，記作d（P,Q）．已知點(diǎn)A（4,0），B（0,4），連接AB．

（1）d（點(diǎn)O，AB）=        

（2）⊙O半徑為r，若d（⊙O，AB）=0，求r的取值范圍；

（3）點(diǎn)C（－3，－2），連接AC，BC，⊙T的圓心為T（t，0），半徑為2，d（⊙T，△ABC），且0<d <2，求t的取值范圍．

【解析】

本題最后兩問，可以參照下面的兩幅圖進(jìn)行。最后一問，依然是四個(gè)臨界位置，如果考生做了此題，可以參照密云的題目對比分析，體會(huì)四個(gè)臨界位置的區(qū)別與聯(lián)系。

順義區(qū)

似中點(diǎn)

【解析】

第一問的標(biāo)答，是不是搞反了？

第二問的圈1，作出線段MN的垂直平分線，計(jì)算其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可，難度也不大，計(jì)算也不復(fù)雜。

最后一小問，動(dòng)圓問題，難度不大，分析的關(guān)鍵是使得動(dòng)圓與MN的垂直平分線有交點(diǎn)即可，據(jù)此可以確定圓心的坐標(biāo)。

延慶區(qū)

視角

【解析】

本題之中，動(dòng)圓T的圓心在x軸上，且半徑恒為1。

第一問圈1，比較容易，送分題；

第一問圈2，需要認(rèn)真分析，算是對“視角”概念的進(jìn)一步理解，分析的關(guān)鍵是當(dāng)直線上的點(diǎn)滿足什么條件時(shí)，才可以取到“視角”。通過分析，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)距離圓心最近時(shí)，恰恰就是確定“視角”出現(xiàn)的點(diǎn)。過圓心向直線作垂線即可求得結(jié)果。

燕山區(qū)

稱心點(diǎn)

【解析】

此題屬于傳統(tǒng)的、典型的新定義類型。讀題的關(guān)鍵是獲取信息，獲取“稱心點(diǎn)”的判定條件——r/2≤PM≤3r/2.

第一問的圈2，可以參照下圖高清大圖進(jìn)行分析。

最后一問，依然是四個(gè)臨界位置，如下圖所示，可以通過幾何直觀和解直角三角形求解。

大興區(qū)

水平正三角形

【解析】

本題的難點(diǎn)在于最后一問，最后一問的分析需要借助草圖進(jìn)行，考生在考場上只需用鉛筆直尺進(jìn)行作圖，找到臨界位置即可。另一方面，也需要考生在計(jì)算等邊三角形時(shí)，需要對邊的比例關(guān)系、對應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)有比較靈活的處理方式。借助下面三個(gè)臨界圖形，可以求出6個(gè)臨界點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

考生可以繼續(xù)思考：為什么會(huì)是三種情形？是如何想到的？每種情形下的臨界位置在作圖時(shí)是借助什么進(jìn)行確定的？這樣的分析方法具備一般性么？

懷柔區(qū)

直角點(diǎn)

【解析】

第二問，需要注意大圓的半徑，據(jù)此進(jìn)行分析。

第三問，依然是解三角形，如果對幾何特征理解的比較好，解三角形就會(huì)既快且準(zhǔn)，而這個(gè)能力是可以通過訓(xùn)練達(dá)到的。

海淀區(qū)

基準(zhǔn)距離

【解析】

難點(diǎn)在于最后一個(gè)小問題，分析的關(guān)鍵在于“n的最大值等于6”，據(jù)此可以列出下列不等式：

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