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四邊形中有一類求面積是比較難的：頂點和對邊上的點連線，然后交織出的陰影部分的面積問題——特別是四邊形本身還不是規(guī)則的四邊形。

我們再回憶一下上一節(jié)中的例子：

E，F(xiàn)是AB和CD的中點，則四邊形BEDF的面積是四邊形ABCD的一半。本節(jié)中我們將反復(fù)使用這個結(jié)論——所以也強烈建議把這個作為常用結(jié)論記住。

接下來我們來看一些例子。

例：在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD與BC邊上的中點，已知△AMB和△DNC的面積分別為9和13，求四邊形FNEM的面積。

是不是感覺就應(yīng)該是22？

下一個問題就是：怎么做？

如果三十秒內(nèi)看不出來，我覺得我教的很失敗。

沒錯，又回到了之前我們提到的常見模型！我們把這個圖拆成兩部分，第一部分觀察四邊形AECF，這是ABCD的一半；再觀察EDFB，這也是ABCD的一半，于是根據(jù)前面類似的討論，馬上可以得到FNEM的面積就是△AMB和△DNC的面積和，即22。

你想的一點沒錯，這就是熱熱身。

我們再來看一個例子。

例：在四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是AD、DC、CB、BA邊上的中點，連接BE、DG、AF、HC，已知△AEP、△DQF、△RGC、△HSB的面積分別為7、10、9、6，求陰影部分面積。

32。

為什么？在這里無非就是對EDBG和AFCH用兩次模型而已。

搶答都會了！

同樣，我們可以把題目稍作變動，連接BE、DH、DG、BF，然后求中間的DPBQ的面積。想一想，這時候我們需要什么樣的條件才能求呢？

現(xiàn)在知道難題是怎么出出來的了吧？

謊言重復(fù)一千遍就成了真理，簡單的知識點重復(fù)三遍就是難題。

我們再來看一個復(fù)雜一點的例子。

如圖：在梯形ABCD中，點E是AB的中點，點F，G是邊CD的三等分點?！鰽DG的面積是17，△GEA的面積為31，求△BCF的面積。

你看，兩邊是中點的會了，現(xiàn)在一邊給你搞個中點，一邊搞個三等分點。這就是所謂的變一變又不會了的典型。

而且特別可氣的是，明知道能用上上面那個讓大家熟記的結(jié)論，但是就是感覺沒地方用——甚至你都能感覺到作中位線都是錯誤的辦法。

怎么辦？

我們看能不能把這個化成我們熟知的問題來解決。首先考慮，我們熟悉的問題是什么？沒錯，把DC上的三等分點換成中點就可以了。那么問題來了，三等分點和中點之間能不能找到什么聯(lián)系呢？

如果把這條線段六等分會不會有什么用？因為2和3的最小公倍數(shù)是6，所以這樣做的話，似乎并沒有什么用處，因為這樣要多出來三個點，而且到底哪些點和這三個點連？看起來輔助線的條數(shù)實在是多得嚇人，遠遠超過小學(xué)生的心理承受能力，因此不對。

別笑，做題的題感也是解決問題的一種工具。像這樣毫無目的性的輔助線，實在不是什么明智的辦法。

這時候換思路，怎么換？還是想把三等分點變成中點來對待。我們發(fā)現(xiàn)如果去掉1/3，那么剩下的2/3條線段中，不就有一個三等分點變成中點了么？

我們換個角度，把這個圖當做一個基本模型，事實上在本題中也可以拆出兩個模型：ADFB和AGCB！

這是第一步，當然也是最關(guān)鍵的一步。

如果能看出這個，那么距離題目被解決大概只剩下一半的工作了。我們的目標是求△BCF的面積，根據(jù)缺什么設(shè)什么，設(shè)了什么就知道什么的原則，我們可以令△BCF的面積為x，于是x+31等于△EFB和△GFE的面積和。而△EFB的面積和△ADG的和又等于△AEG和△GEF的面積和。

我們通過簡單的計算可以得到△EBF的面積為(x+45)/2，△GEF的面積為(x+17)/2，然后呢？

又卡住了。

當然，做到這里其實已經(jīng)很不錯了，距離最后做出來只差10%了，不過行百里者半九十，這10%還是挺要命的。

現(xiàn)在缺什么？

等式，一個含未知數(shù)的等式。

沒錯，我們還缺一個方程。這個方程該怎么找呢？

我們再介紹一個常用的定理：設(shè)E是AB的中點，ABCD是梯形，則△DEC的面積是梯形面積的一半。

這個定理的證明非常簡單，可以用中位線的性質(zhì)很快得到，詳細過程留給讀者作為練習。

有了這個定理之后，我們發(fā)現(xiàn)，△DEC的面積等于3倍的△GEF的面積，又等于整個梯形面積的一半，所以我們可以得到等式：

3×(x+17)/2=[17+31+(x+17)/2+(x+45)/2+x]/2

解得x=28。

你看，化歸的作用是不是很厲害？當然，今天補充的這個定理也是小學(xué)面積問題中常用的辦法，還是很有必要記住的

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