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三角形的三條線：角平分線、中線、高是很重要也很很神奇的三條線，結(jié)合著全等三角形我們來(lái)研究一下。

這三條線中，高是相對(duì)來(lái)說(shuō)比較沒(méi)有地位的，涉及到高的題目一般來(lái)說(shuō)不會(huì)太難。因?yàn)樘幚砀叩霓k法比較多，還有面積可以幫助，但是中線和角平分線就會(huì)麻煩很多。舉個(gè)例子，給定一個(gè)三角形，讓你求高的長(zhǎng)度，和求中線或者角平分線的長(zhǎng)度，你是不是頓時(shí)覺(jué)得后面兩個(gè)挺難求的？如果不用三角的方法確實(shí)不大好做，但是高的話你用一下勾股定理就出來(lái)了。

事實(shí)上，在和全等相關(guān)的那些問(wèn)題中，有時(shí)候是中線的題目難，有時(shí)候是角平分線的題目難，我們來(lái)看一些具體的例子。

例1  已知△ABC和△DEF中，∠B=∠E，∠C=∠F，AG是∠BAC的角平分線，DH是∠EDF的角平分線，且AG=DH，求證：△ABC和△DEF兩個(gè)三角形全等。

首先，既然有兩個(gè)角相等，由三角形內(nèi)角和定理知，第三個(gè)角必然相等。像這樣直接得到的結(jié)論，就要標(biāo)注在∠C=∠F的后面，同時(shí)，在圖上做出標(biāo)記，表示∠B=∠E，∠C=∠F，避免反復(fù)讀題浪費(fèi)時(shí)間。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中這樣的刻意訓(xùn)練是必不可少的，這也是提高解題速度的一個(gè)基本方法，而角平分線的條件告訴我們，∠BAG=∠CAG=∠EDH=∠FDH。像這些能標(biāo)記的都標(biāo)上。

對(duì)于目標(biāo)三角形來(lái)說(shuō)，只有兩個(gè)角的條件，缺一條邊，所以肯定不能直接證明全等，但是對(duì)于△BAG和△EDH來(lái)說(shuō)，全等的條件顯然是夠了，于是我們得到AB=DE，再結(jié)合∠B=∠E，∠C=∠F，命題得證。

如果我們把角平分線換成高，你會(huì)發(fā)現(xiàn)幾乎是一樣的作法，先通過(guò)兩個(gè)小三角形全等得到AB=DE，然后大三角形全等。

自然的，下一個(gè)問(wèn)題就是中線。

我們把題目做一些調(diào)整：已知AB=DE，AC=DF，AG和DH分別是對(duì)邊上的中線，且BC=EF，求證△ABC全等于△DEF。

目標(biāo)是什么？既然是兩邊對(duì)應(yīng)相等了，所以要么證明∠BAC=∠EDF，要么證明BC=EF，證明其他角相等沒(méi)用，SSA是沒(méi)有辦法判定全等的。

問(wèn)題來(lái)了，怎么證？

我們會(huì)發(fā)現(xiàn)就像拳頭打在棉花上一樣軟弱無(wú)力。這個(gè)中線的條件該怎么用？既不能直接給我們夾角相等，又不能給我們第三邊相等——因?yàn)闊o(wú)論和哪條邊搭配，始終都是兩條邊對(duì)應(yīng)相等，不滿足全等的條件，這時(shí)候該怎么辦？

天空傳來(lái)一個(gè)聲音：中線嘛，倍長(zhǎng)吧。

我們分別延長(zhǎng)AG和DH一倍，使得GJ=AG，DH=HK，于是有△ABG全等于△JCG，△DEH全等于△KFH，然后呢？

然后當(dāng)然是觀察有沒(méi)有能把兩邊聯(lián)系起來(lái)的全等?。?/span>

我們發(fā)現(xiàn)，AG倍長(zhǎng)成AJ后，和DK是相等的，而AC=DF，CJ=AB=ED=FK，于是得到△AJC全等于△DKF，這是一個(gè)好兆頭！因?yàn)槲覀円木褪沁@樣的聯(lián)系。

于是可以得到∠J=∠K，∠JAC=∠KDF，而∠J=∠BAG，∠K=∠EDH，相加就得到∠BAC=∠EDF了，目標(biāo)得證。

這是中線比角平分線麻煩的例子，下一次我們來(lái)看角平分線比中線麻煩的例子。

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