點(diǎn)擊領(lǐng)取>>>北京各學(xué)校初一初二初三上學(xué)期期中考試真題及答案解析

很多家長(zhǎng)會(huì)問我，賊老師，怎么才能讓孩子學(xué)好平面幾何？

老鐵都知道我是天賦論的堅(jiān)定支持者，很多人本身就是學(xué)不好平面幾何的，換誰教都不行。當(dāng)教師那么多年，最反感的一句話就是沒有教不好的學(xué)生，只有不會(huì)教的老師。這句話用在教師自省可以，但是用來要求教師就是個(gè)笑話。

對(duì)每個(gè)孩子來說，學(xué)好平面幾何的標(biāo)準(zhǔn)是不一樣的。你自行車騎到時(shí)速80千米/小時(shí)那是頂級(jí)的賽車，法拉利開80千米/小時(shí)人家那是還沒轟油門。所以家長(zhǎng)對(duì)自己的孩子要有個(gè)充分的了解，明白孩子的天花板在哪里，也許你會(huì)發(fā)現(xiàn)自己的孩子平面幾何還是不錯(cuò)的。

平面幾何作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，想要學(xué)好的話也服從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般規(guī)律，最根本的就是要提高對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)。什么叫對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)呢？比如說等你學(xué)了解析幾何以后，你如果能夠意識(shí)到其實(shí)平面幾何作為數(shù)學(xué)來說已經(jīng)死了，沒有任何新的東西，這就算是對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)很高了。所有的定理、命題，你都可以通過計(jì)算暴力破解，如果再加上三角、復(fù)數(shù)的工具，理論上平面幾何就沒有任何研究的必要了。

注意，這是從理論研究的角度來說平面幾何已經(jīng)死了，并不是說平面幾何沒有難題了，或者說賊老師你就能做出所有的平面幾何題目，這是兩個(gè)概念。事實(shí)上還是有一些平面幾何的難題我確實(shí)做不出來——無論我用什么方法，但是這和對(duì)平面幾何的認(rèn)識(shí)是兩回事，而像其他的活的數(shù)學(xué)分支，就會(huì)有很多的新問題能推動(dòng)這個(gè)分支的發(fā)展。

從平面幾何證明的方法來看，大致分為純幾何流派和計(jì)算派。蘇聯(lián)的教育體系偏重用純幾何的做法，就是各種幾何中的變換技巧，加一堆輔助線；而歐美的喜歡算算算，用很少的輔助線來解決問題。當(dāng)前我國初中階段平面幾何教學(xué)走的還是蘇聯(lián)體系，對(duì)于用解析法或者三角法的運(yùn)用幾乎是不涉及的。只有高中專門走數(shù)學(xué)競(jìng)賽路線的學(xué)生才有機(jī)會(huì)接觸到這些通過計(jì)算來證明平面幾何的方法。

在題目相對(duì)比較簡(jiǎn)單的時(shí)候，純幾何法占優(yōu)；而題目比較難的時(shí)候，相對(duì)來說計(jì)算法會(huì)占優(yōu)。當(dāng)然界限也不是那么的明顯，還是根據(jù)個(gè)人偏好來決定。

那么既然平面幾何已經(jīng)是個(gè)死亡了的分支，為什么我們還要學(xué)呢？

首先當(dāng)然是實(shí)用性。平面幾何的原意是丈量土地，所以這是標(biāo)準(zhǔn)的應(yīng)用數(shù)學(xué)。這是一門非常實(shí)用的工具，你說錘子還能做出什么花么？還有有什么革命性的創(chuàng)意么？很難。然而這不妨礙錘子是一種很有用的工具。

其次我們的義務(wù)教育階段是缺乏系統(tǒng)的邏輯課程的，而平面幾何的課程是邏輯課最好的替代品。家長(zhǎng)自己學(xué)平面幾何的時(shí)候應(yīng)該是深有體會(huì)的，從上一步到下一步必須要邏輯上成立才能過去，不然任何的平面幾何的證明題你只要把題目抄一遍就完了：因?yàn)檫@些條件肯定是能推出最后的結(jié)論的，而我們要的就是這個(gè)過程。通過反復(fù)的訓(xùn)練，我們就借助對(duì)平面幾何的學(xué)習(xí)完成了基本的邏輯訓(xùn)練。

所以我在寫這些教學(xué)文章的時(shí)候，盡量采用的是我認(rèn)為最自然的思路寫下來的——注意是最自然的思路而不是最簡(jiǎn)潔的思路。畢竟作為靠這個(gè)吃飯的，掌握的技巧肯定比一般學(xué)生要多一些，有些定理、方法完全超綱，但是使用起來會(huì)非常地簡(jiǎn)便，像這種我就盡量不寫，而是盡量采用初學(xué)者的思維方式進(jìn)行思考。由于每個(gè)人的思維模式不一樣，因而在寫整理思路的時(shí)候，每個(gè)人對(duì)最自然的理解也不一樣，這個(gè)并不是什么本質(zhì)性的問題，關(guān)鍵是你要幫助孩子建立起屬于自己的一套自然的思路，不要你覺得要他覺得自然才是真自然。

因此我在選擇例子的時(shí)候遵循一個(gè)基本的原則：是否有自然思路。有的平面幾何難題需要用到的技巧過強(qiáng)，完全沒有邏輯可言，證明的時(shí)候全靠想象力的那種一般不收錄——因?yàn)槟茏龅侥欠N難度題目的孩子已經(jīng)不需要看這些文章了。而我這些系列中所舉的例子，有些確實(shí)很難，但是只要你有耐心，基本上不需要靠想象力來解決。也就是說，只要你基本功扎實(shí)，完全可以通過題設(shè)中的條件一點(diǎn)點(diǎn)把輔助線給摳出來。

也有很多讀者給我留言說有更好的解法，講真我挺感動(dòng)的，畢竟這么浮躁的年代還有人愿意再去做點(diǎn)數(shù)學(xué)題是很難得的事情。只是有些解法在我看來也許不夠自然，技巧性過強(qiáng)，和我的教學(xué)理念有些沖突，所以沒有選用那些方法。

其實(shí)從我內(nèi)心來說，我是很希望把解析幾何的辦法教給學(xué)生的，因?yàn)槟菢拥脑拺?yīng)付中考是綽綽有余。然而這個(gè)是屬于被封禁的技能，所以也只能采用純幾何法來進(jìn)行推導(dǎo)。

不是每個(gè)人都要去當(dāng)數(shù)學(xué)家，既無可能也無必要。過度地炫技其實(shí)除了打擊孩子的信心和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣以外沒有任何的用處。越是平平無奇的解法也就越能打消孩子對(duì)學(xué)習(xí)平面幾何的恐懼。證明的過程長(zhǎng)一點(diǎn)其實(shí)不可怕，可如果過程非常精彩又很簡(jiǎn)短，以至于讓孩子發(fā)出了天，這怎么想得到的驚嘆，那么這方法多半不是太好的辦法。應(yīng)該說我列舉的關(guān)于平面幾何的基本訓(xùn)練大部分的孩子是完全可以做好的——從總體而言，人的智力水平的分布是呈現(xiàn)橄欖型的：極聰明和極笨的都是少數(shù)，如果把所有人的IQ取個(gè)平均值，那么在正負(fù)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)就有接近70%的孩子，所以說大部分孩子可以做好平面幾何的基本訓(xùn)練，我是有數(shù)據(jù)做支撐的。

當(dāng)然具體到細(xì)節(jié)那就千變?nèi)f化了。哪有什么書或者教學(xué)方法能夠適用所有的人，如果真的有，那么因材施教豈不是成了一句空話？所以這既不唯物主義又不符合實(shí)際情況。我只是給大家教自己的孩子提供一種思路，同時(shí)把一些最關(guān)鍵的地方給大家羅列出來，這樣可以很好地掌握孩子到底有沒有真的掌握。

平面幾何的核心問題，就在于兩種關(guān)系：數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。一切的問題都是圍繞著這兩種關(guān)系展開的，所有的輔助線的添加方法也都是由這兩種關(guān)系所決定。孩子題目刷地再多，如果不明白自己到底在干什么，那么提高的速度會(huì)很慢；反之有了這個(gè)指導(dǎo)思想，孩子上手會(huì)很快。

所以你要下場(chǎng)輔導(dǎo)孩子，一定要站得高一點(diǎn)，這樣才能夠幫助孩子有實(shí)質(zhì)性得提高。如果你要找老師輔導(dǎo)孩子，那種只會(huì)讓孩子做題然后一個(gè)接一個(gè)講題目的老師，請(qǐng)遠(yuǎn)離。我的寫作目的就是為了提升家長(zhǎng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)水平，方便你們甄別孩子所碰到的數(shù)學(xué)老師。

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