“和差問題”是一種涉及到兩個元的問題，已知條件通常是它們的“和”、“差”，這類題通常都會和“倍數(shù)”結(jié)合起來。本期谷老師通過一道典型的“和差問題”，來講述解答這類題應(yīng)注意的事項。

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難易指數(shù)：★★★

適宜對象：小學(xué)培優(yōu)

本期編號：D00027

示例1：有兩個數(shù)，它們之和是150，其中第一個數(shù)比第二個數(shù)小10，求這兩個數(shù)。

思路分析：

這是典型的“和差問題”，它們兩之間的已知條件分別是“和”和“差”，大家總結(jié)出來的解答公式如下所示：

大數(shù) = (和+差) ÷ 2

小數(shù) = (和-差) ÷ 2

解答1（套用公式）

我們將上述公式套進來如下所示：

大數(shù) = (150+10) ÷ 2 = 80

小數(shù) = (150-10) ÷ 2 = 70

那么，聰明的你一定會問，為什么要這么做呢？

       精彩還在后頭！    

解答2（假設(shè)法）

現(xiàn)在我們假設(shè)這兩個數(shù)相等，分別為：75、75，由題意知，小數(shù)比大數(shù)小10，則：

小數(shù) = 75 - 10 = 65

那么此時，兩數(shù)之和為：65 + 75 = 140

很明顯，和比原來的150，小10，因此我們需要將10“平分”到這兩個數(shù)中，于是有：

大數(shù) = 75 + 10/2 = 80

小數(shù) = 65 + 10/2 = 70

是不是和上述的公式得出來的結(jié)果一樣呢？

“假設(shè)法”是化解多元問題的好方法，應(yīng)用詳見：

D00025期：復(fù)雜的“年齡問題”

D00024期：雞兔同籠問題

D00001期：相遇問題

解答3（數(shù)形結(jié)合）

在數(shù)軸上，我們分別將大數(shù)、小數(shù)、和、差的關(guān)系表示出來：

從圖中，很明顯可以看出來：

大數(shù) = （和+差)÷2 = (150+10)/2 = 80

小數(shù) = （和-差)÷2 = (150-10)/2 = 70

這是不是就是上述公式呢？

后面還有更加精彩的！

示例2：有三個數(shù)，它們之和是150，其中第一個數(shù)比第二個數(shù)小10，第二個數(shù)比第三個數(shù)小10，求這三個數(shù)。

解答（假設(shè)法）

現(xiàn)在我們假設(shè)這三個數(shù)相等，分別為：50、50、50，由題意知：

第1個數(shù) = 50 - 10 = 40

第3個數(shù) = 50 + 10 = 60

那么此時，三數(shù)之和為：40 + 50 + 60 = 150。

于是三個數(shù)分別為：40、50、60。

這么簡單嗎？我們不得不懷疑！

那么我們將題目改下，第2個數(shù)比第3個數(shù)小4，其它都不變。

同樣，有：

第1個數(shù) = 50 - 10 = 40

第3個數(shù) = 50 + 4 = 54

那么此時，三數(shù)之和為：40 + 50 + 54 = 144。

顯然此時，“和”比原來的150少了6，現(xiàn)在我們將6平分到這三個數(shù)中，于是這三個數(shù)為：

第1個數(shù)：40+2 = 42

第2個數(shù)：50+2 = 52

第3個數(shù)：54+2 = 56

1）此題如何進行推廣，如果是4個數(shù)、5個數(shù)、6個數(shù)呢？

2）任何一種方法，如果不是通用的方法，就不算是好方法！

3）請問，用前面的數(shù)形結(jié)合，怎么推導(dǎo)解答三個數(shù)的“和差問題”公式。

總結(jié)

1）總結(jié)公式的同時，要理解公式怎么來的。

2）加深對“假設(shè)法”的理解。

3）學(xué)會怎么利用“數(shù)形結(jié)合”的思想解答數(shù)學(xué)題。

同類拓展：

1.變形：果園共260棵桃樹和梨樹，其中桃樹的棵數(shù)比梨樹多20棵．桃樹和梨樹各有多少棵？

答案：140、120。

2.創(chuàng)新訓(xùn)練：有一種小蟲，每隔2秒鐘分裂一次。分裂后的2只新的小蟲經(jīng)過2秒鐘后又會分裂。如果最初瓶中只有1只小蟲，那么 2 秒后變 2 只，再過 2 秒后就變 4只…… 2 分鐘后，正好滿滿一瓶小蟲?，F(xiàn)在這個瓶內(nèi)最初放入2 只這樣的小蟲。經(jīng)過多長時間，正巧也是滿滿一瓶小蟲?

答案：118秒。

3.能力提高：甲、乙、丙三個數(shù)的和是105，甲數(shù)比乙數(shù)多 4，乙數(shù)比丙數(shù)多 4，求丙數(shù)。

答案：39。