點(diǎn)擊領(lǐng)取>>>北京各學(xué)校初一初二初三下學(xué)期期末考試真題及答案解析

今天正式的來(lái)看看，要說(shuō)四點(diǎn)共圓是初三才有的模型，而手拉手就比較早了，初學(xué)全等就可以接觸了。其實(shí)四點(diǎn)共圓也不是初三才見(jiàn)到，同樣是初學(xué)全等的時(shí)候的對(duì)角互補(bǔ)四邊形，其實(shí)就是四點(diǎn)共圓。手拉手也是在初三可以升級(jí)為相似的手拉手。

（點(diǎn)擊查看：學(xué)完全等后的經(jīng)典模型，八個(gè)模型）

    之所以研究他們倆的聯(lián)系還要從一個(gè)模型說(shuō)起，也是屬于對(duì)角互補(bǔ)四邊形系列的，初學(xué)全等時(shí)介紹的，對(duì)角互補(bǔ)，鄰邊相等，角平分線（知三推一）模型（對(duì)角互補(bǔ)就是四點(diǎn)共圓）

    這個(gè)模型的方法是做點(diǎn)垂線垂兩邊，證明全等，而且有很多引申，之前也講過(guò)了。

    這里有個(gè)結(jié)論就是CD+CB=2CI=2CJ

    有一個(gè)引申就是當(dāng)對(duì)角互補(bǔ)是60度和120度的時(shí)候。有很多特殊結(jié)論。如下圖。AC+AD=AB（做點(diǎn)垂線可證）

（點(diǎn)擊查看：幾個(gè)線段倒數(shù)和模型，以及倒數(shù)和的策略）

    其實(shí)除了做點(diǎn)垂線之外還有一種方法就是今天要說(shuō)的，四點(diǎn)共圓構(gòu)造手拉手。

    怎么構(gòu)造呢？看下面：

    這就是剛才的模型，其實(shí)換一種描述就是圓中有個(gè)等邊，再來(lái)一個(gè)點(diǎn)連接如圖。還有其他的給法。

    手拉手來(lái)了：

    顯然AD+CD=DF+BF=BD感覺(jué)很簡(jiǎn)潔

不同的轉(zhuǎn)法都可以（其實(shí)就是旋轉(zhuǎn)的思想）

（點(diǎn)擊查看：旋轉(zhuǎn)策略，從簡(jiǎn)單到不簡(jiǎn)單）（等邊思轉(zhuǎn)）

那么我們變一變，把等邊改成等腰，一樣可以旋轉(zhuǎn)手拉手：

    把定角變成特殊的度數(shù)還可能有特殊的結(jié)論。（60度上面已經(jīng)試過(guò)了）

    CD+根2AD=BD

    以上都是臨邊相等的四點(diǎn)共圓。

    再改一改變成任意四點(diǎn)共圓，如下：

    一樣可以放縮旋轉(zhuǎn)，相似手拉手

    而且傳說(shuō)的托勒密定理就是這么構(gòu)造而證明的。

    再看兩道例題吧（其實(shí)都是旋轉(zhuǎn)思想）

    沒(méi)錯(cuò)你沒(méi)看錯(cuò)，第三問(wèn)的三個(gè)線段，我一度以為是打錯(cuò)了，其實(shí)沒(méi)有。

    這個(gè)題的四點(diǎn)共圓的給法不太一樣。第一問(wèn)倒角，第二問(wèn)就可以構(gòu)造手拉手了，

第二問(wèn)

方法一：

第二問(wèn)

方法二：

    第三問(wèn)方法也很多們也是構(gòu)造手拉手：

第三問(wèn)

方法一：

    如圖顯然：AB/根號(hào)2=BG=BD+DG，

    CD-BD=2FD（第二問(wèn)可得）=2GD

    綜上得出結(jié)論

第三問(wèn)

方法二：

如圖顯然：BD+CD=CH=根號(hào)2AC

    這個(gè)結(jié)論是絕對(duì)正確的，但是我第一做出的卻不是這個(gè)結(jié)論。我的思路是經(jīng)典的數(shù)學(xué)思路：利用現(xiàn)有結(jié)論解決未知問(wèn)題。我以經(jīng)知道了AD+BD=CD這個(gè)結(jié)論。要找到AD，BD，AC的關(guān)系。只要找到AC和AD的關(guān)系即可解決這個(gè)問(wèn)題。我發(fā)現(xiàn)三角形ADC其實(shí)是一個(gè)亞特殊三角形（就是比較特殊但是又沒(méi)有等直等邊這么特殊的厲害）。那么它的三邊比值是固定的。這樣一來(lái)我就找到了AC和AD的比值是，（根號(hào)6）:2。這樣AD代換成AC就得到了結(jié)論：

    CD-BD=AD=(2AC)/根號(hào)6（就不化簡(jiǎn)了）。我得到的是一個(gè)差的結(jié)論，其實(shí)想想也沒(méi)什么神奇的，45度和60度已經(jīng)把這個(gè)形狀限定死了，也就是，三邊的長(zhǎng)度比應(yīng)該是定值。看看下面的圖就很清楚了；

    結(jié)論是：

    好了看看例題2：

    直說(shuō)第三問(wèn)吧，就是各種轉(zhuǎn)構(gòu)造手拉手全等。下圖：

方法一：

    很多初學(xué)者會(huì)疑問(wèn)，轉(zhuǎn)誰(shuí)呢？凡是以等邊為邊的三角形都可以試試。

     如圖旋轉(zhuǎn)三角形BCD，EI平行CD，顯然有同色全等，注意還有一對(duì)沒(méi)標(biāo)出來(lái)的全等三角形DCG和IEG（平行八字型（用等對(duì)邊平行來(lái)判定）），

然后x+y=8,x-y=6(2DG)

方法二：

    旋轉(zhuǎn)三角形CAD，EI平行CH，顯然同色全等，也還是有一個(gè)平行八字全等。

三角形CHG全等EIG。x+y=8,(x+y)/2=BG ,BG=1/2AF=4

方法三：

    這次旋轉(zhuǎn)三角形CGB，顯然同色全等，所以BG=1/2AF=4

    其實(shí)以上的紅色三角全等都是差一個(gè)角，輔助線可以得出這個(gè)角等。

（本次及以往所做動(dòng)圖和源文件將分享在QQ群文件）

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