古典概型也叫傳統(tǒng)概率、其定義是由法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯 (Laplace ) 提出的。如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)所包含的單位事件是有限的，且每個(gè)單位事件發(fā)生的可能性均相等，則這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)叫做拉普拉斯試驗(yàn)，這種條件下的概率模型就叫古典概型。

在這個(gè)模型下，隨機(jī)實(shí)驗(yàn)所有可能的結(jié)果是有限的，并且每個(gè)基本結(jié)果發(fā)生的概率是相同的。古典概型是概率論中最直觀和最簡(jiǎn)單的模型，概率的許多運(yùn)算規(guī)則，也首先是在這種模型下得到的。

本期我們一起來(lái)討論下古典概型相關(guān)的概率問(wèn)題。

每天叫醒你的不是鬧鐘，而是夢(mèng)想和態(tài)度

難易指數(shù)：★★★★

適宜對(duì)象：小學(xué)培優(yōu)、初中

本期編號(hào)：D00057

關(guān)鍵詞：古典概型、概率問(wèn)題

古典概型

【基本計(jì)算公式】

如果一次實(shí)驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是

；如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率為：

P(A) = 

其中，m為A包含的基本事件的個(gè)數(shù)；n為基本事件的總數(shù)。

【示例1】

袋子中有3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中任意摸出一個(gè)球，是黑球的概率是多少？

解答：

設(shè)摸出的球是黑球?yàn)槭录嗀，因?yàn)橛?個(gè)黑球，所以事件A包含的個(gè)數(shù)為：2?？偣灿?個(gè)球，則基本事件總數(shù)為：5

故這個(gè)球是黑球的概率為：

P(A) = 2/5

【加法原理和乘法原理】

在概率的計(jì)算中，有兩個(gè)原理，分別是：加法原理和乘法原理。

加法原理就是：做一件事情，完成它有n類方式，第一類方式有m1種方法，第二類方式有m2種方法，……，第n類方式有mn種方法，那么完成這件事情共有m1+m2+……+mn種方法。

乘法原理就是：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一 步有m1種不同的方法，做第二步有m2不同的方法，……，做第n步有mn不同的方法。那么完成這件事共有 N=m1m2m3…mn 種不同的方法。

【示例2】

袋子中有3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中任意摸出2個(gè)球，只有一個(gè)黑球的概率是多少？

解答：

摸出的2個(gè)球，有兩種情況：

• 第一個(gè)是黑球，第二個(gè)是白球，設(shè)為事件A

• 第一個(gè)是白球，第二個(gè)是黑球，設(shè)為事件B

每一種情況，都可以分為兩個(gè)步驟，先摸第一個(gè)，再摸第二個(gè)。于是根據(jù)乘法原理有：

P(A) = (2/5)×(3/4) = 3/10

P(B) = (3/5)×(2/4) = 3/10

最后根據(jù)加法原理知，只有一個(gè)黑球的概率為：

P(A) + P(B) = 6/10

【對(duì)立事件】

若A交B為不可能事件，A并B為必然事件，那么稱A事件與事件B互為對(duì)立事件，其含義是：事件A和事件B必有一個(gè)且僅有一個(gè)發(fā)生。

用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示即為：若

，則稱事件A與事件B互為逆事件。又稱事件A與事件B互為對(duì)立事件。即在每一次試驗(yàn)中，事件A與事件B中必有一個(gè)發(fā)生，且僅有一個(gè)發(fā)生。A的對(duì)立事件記為

 。

對(duì)立事件概率之間的關(guān)系：P(A)+P(B)=1。例如，在擲骰子試驗(yàn)中，A={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}，b={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}，A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，所以A與B互為對(duì)立事件。

【示例3】

袋子中有3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中任意摸出2個(gè)球，至少有一個(gè)黑球的概率是多少？

解答：

根據(jù)題意，我們可以設(shè)兩個(gè)球都是白球?yàn)槭录嗀，那么根據(jù)乘法原理，事件A的概率為：

P(A)=3/5×2/4=3/10

根據(jù)對(duì)立事件的概率原理知，至少有一個(gè)黑球的事件概率為：

1-P(

) = 1-3/10 = 7/10

【事件的加法和減法】

減法公式：對(duì)任意的兩個(gè)事件A、B，有:

P(A-B)=P(A)-P(AB)

加法公式：對(duì)任意的兩個(gè)事件A、B，有：

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

對(duì)任意的三個(gè)事件A、B、C，有：

P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-p(BC)+P(ABC)

【示例4】

Mrs Sanders has three grandchildren, who call her regularly. One calls her every three days, one calls her every four days, and one calls her every five days. All three called her on December 31, 2016. On how many days during the next year did she not receive a phone call from any of her grandchildren?（2017 AMC8）

(A)78  (B)80  (C)144  (D)146  (E)152

解答：

原題意為：桑德斯太太有三個(gè)孫子，他們定期給她打電話。分別是：每三天打一個(gè)電話給她，每四天打一個(gè)電話給她，每五天打一個(gè)電話給她。假設(shè)三人都在2016年12月31日打電話給她。在接下來(lái)的一年中，她有多少天沒(méi)有接到任何孫子的電話？

這一年中孫子打電話給她打電話的天數(shù)為p，則有：

p1=[365/3]+[365/4]+[365/5] 

p2=[365/12]+[365/15]+[365/20]

p3=[365/60]

p = p1 - p2 + p3 = 219(天)

沒(méi)有打電話的時(shí)間為：

365-219=146(天)，因此選D。

【溫馨總結(jié)】

1.理解古典概型的概念，理解其需要滿足的條件：等可能性和有限性。

2.對(duì)于結(jié)果有無(wú)限種可能的概率計(jì)算問(wèn)題，不能把它當(dāng)作古典概型來(lái)處理。這個(gè)時(shí)候可能要用到“幾何概型”。

3.重點(diǎn)掌握怎么運(yùn)用加法原理及乘法原理，計(jì)算概率問(wèn)題。

【習(xí)題】

1.基礎(chǔ)訓(xùn)練：某人有5把鑰匙，一把是房門鑰匙，但忘記了開(kāi)房門的是哪一把于是，他逐把不重復(fù)地試開(kāi)，問(wèn)：

（1）恰好第三次打開(kāi)房門鎖的概率是多少？

（2）三次內(nèi)打開(kāi)的概率是多少？

（3）如果5把內(nèi)有2把房門鑰匙，那么三次內(nèi)打開(kāi)的概率是多少？

答案：1/5；3/5；9/10。

2.能力提高：把4個(gè)不同的球任意投入4個(gè)不同的盒子內(nèi)（每盒裝球數(shù)不限），計(jì)算：(1)無(wú)空盒的概率；(2)恰有一個(gè)空盒的概率。

答案：3/32；9/16。