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圓的進階模型

    本文介紹的是圓的進階模型，不同于之前的基礎(chǔ)模型

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圓，十大基礎(chǔ)性質(zhì)策略

01:圓的第一定義與軌跡

    根據(jù)圓的第一定義，該動點軌跡為直線，圓的第一定義即：一中同長

《墨子，經(jīng)上》中說：圓，一中同長也。清朝陳澧 《東塾讀書記·諸子》解釋道：“《幾何原本》云：‘圜之中處一圜心，一圜惟一心，無二心，圜界至中心作直線俱等?！创怂^‘一中同長’也。

當然這題任何圖形為背景都不影響結(jié)論：

02：圓的第二定義與軌跡

    第二定義聽過的人就不如第一定義多了，也叫做阿波羅尼斯圓，到兩個定點的距離比為定值（不為1）的點的軌跡是圓。為啥不能比值為1呢？你說呢？比為1是啥？

    為了展示阿氏圓的形成，我用ggb軟件做了如下兩個動圓：

    保證兩動圓的半徑比為定值：

    這樣即可形成阿氏圓，縮小一點看到的會更全！

    當然，如果半徑比值為1，結(jié)果不言而喻：

    也可以在另一邊形成阿氏圓：

    阿氏圓與相似有著密不可分的關(guān)系，所以我們會在相似模型中再進行更加詳細的介紹。

03：圓的第三種生成方式

    除了以上的兩種定義，圓還有很多種產(chǎn)生的方式：如

    當然我們初中階段只需要了解其特殊情況，即：

證明略：

04：四點共圓

    四點共圓，是許多教科書上沒有明確點破，但是在應(yīng)用上非常廣泛的一個做題技巧，當然雖然沒有明確點破，但是還是能在書上看到些許的影子，四點共圓可大致分為兩類：

 1、同側(cè)等角：

    同線段的同側(cè)等角頂點和線段兩段點共圓，其實這就是書上圓周角定理的逆命題啊！這個結(jié)論也叫定弦定角，應(yīng)用頗多

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2018河南22題，破解手拉手，定弦定角軌跡

定底定角，線段長問題，斜大于直，軌跡思想

2、異側(cè)互補角

同側(cè)角相等共圓，異側(cè)角互補共圓：

    這個結(jié)論可以看做，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的逆命題。

05：圓中平分線

06：圓與等腰

07：弦切角定理

    這也是一個教科書上少有提及的定理，但是考圓的時候還總考！

因為圓周角的靈活性，可以放在特殊位置證明：

（圓周角的靈活性往往也是解決圓中問題的核心）

也可以用相似證明，介于有的教材相似在圓后面

08：圓內(nèi)角和圓外角

    這兩個概念都是相對于圓周角產(chǎn)生的！

由外角定理易證得結(jié)論，而且還有意外收獲如下：

弧的度數(shù)的概念：用弧表示角（弧角一體）

 在這補充，在圓中因為圓心角與弧的一一對應(yīng)性，我們可以用弧表示圓心角（弧度制）（即用弧的長度表示角的大?。?，也可以用圓心角表示?。ㄏ聢D用法）（即用角的度數(shù)表示弧的長短（同圓中），比如半圓就是180度，四分之一圓就是90度）

09：米勒問題

顯然是一個叫“米勒”的先提出的

解決這個問題就是應(yīng)用08中的圓周角與圓外角的大小關(guān)系：

做切圓，則其他角都為圓外角，只有切點處為圓周角。

10：古堡朝拜問題

又是傳說？

本問題初中無法一般性解決，但是其結(jié)論可證明

遵循等角原理，即如下角相等是取最小值：

證明等角原理的正確性：

引用了將軍飲馬結(jié)論

11：圓冪定理

    這也是和圓中相似密切相關(guān)的，也就是反八字形（蝴蝶相似），反A型相似，子母相似，飛鏢型相似的結(jié)論有關(guān)。

E為平面任意一點，過E做直線與圓相交：

E為內(nèi)點：

又稱為相交弦定理

E為外點：

此時稱為割線定理

EB相切：

此時稱為切割線定理

12：折弦定理

本定理可以看做是垂徑定理的一種引申

    垂徑定理的諸多結(jié)論（知二推三）中有一條是，過弧中點向?qū)?yīng)弦做垂線，交點即為該弦的中點。即：弧中點+垂直=弦中點。折弦定理即將這一性質(zhì)引申到折弦上！

通過三種方法展現(xiàn)截長補短的魅力

方法1：

方法2：

方法3：

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