連分?jǐn)?shù)(continued fraction)是特殊繁分?jǐn)?shù)，研究連分?jǐn)?shù)的動機(jī)源于“實(shí)數(shù)”在“數(shù)學(xué)上純粹”的表示：

如果a0，a1，a2，…an，…都是整數(shù)，則將分別稱為無限連分?jǐn)?shù)和有限連分?jǐn)?shù)。例如：(假定a0為整數(shù)部分)

[a0；a1，a2，a3，a4……]

本期我們一起談?wù)勥B分?jǐn)?shù)的神奇之處。

每天叫醒你的不是鬧鐘，而是夢想和態(tài)度

難易指數(shù)：★★★★

適宜對象：小學(xué)培優(yōu)

本期編號：D00064

關(guān)鍵詞：一等于二、無限連分?jǐn)?shù)、有限連分?jǐn)?shù)

連分?jǐn)?shù)

（1）有限連分?jǐn)?shù)

所有有限連分?jǐn)?shù)都表示一個有理數(shù)，而所有有理數(shù)都可以按兩種不同的方式表示為有限連分?jǐn)?shù)。這兩種表示除了最終項(xiàng)之外都是一致的。在較長的連分?jǐn)?shù)表示，其最終項(xiàng)是 1；較短的表示去掉了最后的 1，而向新的終項(xiàng)加 1。在短表示中的最終項(xiàng)因此大于 1，如果短表示至少有兩項(xiàng)的話。

其符號表示：(a0代表整數(shù)部分)

[a0；a1，a2，a3，a4……]

要計(jì)算實(shí)數(shù)r的連分?jǐn)?shù)表示，可先寫下r的整數(shù)部分，然后從r減去這個整數(shù)部分。如果差為 0 則停止；否則找到這個差的倒數(shù)并重復(fù)。

例如：6.124，用連分?jǐn)?shù)近似表示如下：

6.124-6=0.124

1÷0.124≈8.0645，8.0645-8=0.0645

1÷0.0645≈15.504，15.504-15=0.504

1÷0.504≈1.984，1.984-1=0.984

1÷0.984≈1.016，1.016-1=0.016

1÷0.016=62.5，62.5-62=0.5

1÷0.5=2，2-2=0.000（停止計(jì)算）

于是6.124用連分?jǐn)?shù)就可以表示為：

數(shù)學(xué)上可表示整數(shù)序列為：

[6；8，15，1，1，62，2]

（2）無限連分?jǐn)?shù)

所有無限連分?jǐn)?shù)都是無理數(shù)，而所有無理數(shù)可用一種精確的方式表示為無限連分?jǐn)?shù)。

無理數(shù)的無限連分?jǐn)?shù)表示是非常有用的，因?yàn)樗某跏级翁峁┝藢@個數(shù)的優(yōu)異的有理數(shù)逼近。這些有理數(shù)可以叫做這個連分?jǐn)?shù)的收斂（convergent，也譯為“漸進(jìn)”）。所有偶數(shù)編號的收斂都小于最初的數(shù)，而奇數(shù)編號的收斂都大于它。

π的其它表示方法：

黃金分割數(shù)φ= (√5+1)/2：

黃金比例相關(guān)的知識請參考：

D00042期：[分分鐘漲知識]黃金比例

自然數(shù)e(歐拉數(shù))：

自然數(shù)e相關(guān)的知識，請參考：

D00044期：歐拉數(shù)-自然常數(shù)e的來源及應(yīng)用

其它：

（3）1等于2的詭證

整數(shù)1可以用連分?jǐn)?shù)表示如下：

無限的進(jìn)行下去，于是可以得到1的連分?jǐn)?shù)：

圖“1”

整數(shù)2可以用連分?jǐn)?shù)表示如下：

無限的進(jìn)行下去，于是可以得到2的連分?jǐn)?shù)：

圖“2”

由圖“1”、圖“2”可以看出1=2，證畢。

那么請問，這個證明錯在哪里呢？