數(shù)學(xué)中的最值問題，在公務(wù)員考試中又稱為極端構(gòu)造問題，該類問題的主要特征是題目的問題中出現(xiàn)“最少、最多、至少”等字樣。這類問題的解法就是構(gòu)造最極端的情況，因此被稱為極端構(gòu)造。近幾年的公務(wù)員考試中，這種類型的題目屢見不鮮，在奧數(shù)競賽中也常常出現(xiàn)。

今天的目標(biāo)是讓小朋友練習(xí)并講解如下關(guān)于最值問題的奧數(shù)題，所用知識(shí)不超過小學(xué)5年級(jí)。

題目（難度：五星）

有15名學(xué)生參加考試，滿分100分，60分及格，所有成績都是整數(shù)。成績出來后，這15名學(xué)生都及格了，且其中只有2名學(xué)生成績相同，其余所有學(xué)生成績都不同。已知第10名是70分，這10名同學(xué)的總成績是1087分。請(qǐng)問第5名的成績最高是多少？

答案：82。

輔導(dǎo)辦法：

將題目寫給小朋友，讓他自行思考解答，若20分鐘還不能解答，由家長進(jìn)行講解。

講解思路：

解答這種類型的問題，

需考慮以下幾個(gè)問題：

一是要使第5名成績最高，極端的情況是什么？

二是極端時(shí)，分?jǐn)?shù)相同的是名次是多少？

三是極端時(shí)，第11-15名的5個(gè)人成績是多少？

四是極端時(shí)，第6-9名的4個(gè)人成績是多少？

五是極端時(shí)，第1-4名的成績和第5名是什么關(guān)系？

步驟1：

先思考第一個(gè)問題，

極端情況下，

就是其他人的成績都盡量低，

這樣第5名才能盡量高。

步驟2：

再思考第二個(gè)問題，

要使其他人成績盡量低，

那分?jǐn)?shù)相同的最好是最后2名，

分?jǐn)?shù)最低是60分。

步驟3：

再思考第三個(gè)問題，

極端情況下，

第11-15名的成績要盡量低，

就是63、62、61、60、60。

步驟4：

再思考第四個(gè)問題，

極端情況下，

第6-9名成績要盡量低，

但比第10名要高，

由于第10名是70分，

故第6-9名成績?yōu)椋?4、73、72、71。

步驟5：

再思考第5個(gè)問題，

極端情況下，

既要使第5名成績盡量高，

又要使1-4名成績盡量低，

就是要使這5個(gè)人差距盡量小。

步驟6：

綜合上述幾個(gè)問題，

現(xiàn)在第6-15名的成績已經(jīng)構(gòu)造出來了，

即：74、73、72、71、70、63、62、61、60、60，

其和是666。

故1-5名的成績最高是1087-666=421，

平均分是84.2=421/5，

在5個(gè)數(shù)差距最小的情況下，

極端情況是這5個(gè)數(shù)是連續(xù)的整數(shù)，

但5個(gè)連續(xù)整數(shù)的平均數(shù)就是中間的數(shù)，

一定是整數(shù)，不可能是84.2。

注意到5*84=420，

此時(shí)只需要某個(gè)數(shù)再多1就可以了，

只能是最大的數(shù)多1。

故1-5名的成績是87、85、84、83、82，

所以第5名最高是82分。

思考題：

原題目中其它條件不變，請(qǐng)問第1名最高多少分？