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方程組F

28.解方程組

解:注意到各方程中同一未知數(shù)系數(shù)的關系(x-y+z=1)

可以先得到下面四個二元方程:

①+②得

x+u=3,⑥

②+③得

y+v=5,⑦

③+④得

z+x=7,⑧

④+⑤得

u+y=9.⑨

又①+②+③+④+⑤得

x+y+z+u+v=15.⑩

⑩-⑥-⑦得

z=7,

把z=7代入⑧得

x=0,

把x=0代入⑥得

u=3,

把u=3代入⑨得

y=6,

把y=6代入⑦得

v=-1.

所以x=0,y=6,

z=7,u=3,v=-1

為原方程組的解

29.用代表整數(shù)的字母a、b、c、d寫成等式組:

a×b×c×d-a=1991

a×b×c×d-b=1993

a×b×c×d-c=1995

a×b×c×d-d=1997

試說明:符合條件的整數(shù)a、b、c、d是否存在.

解:由原題等式組可知:

a(bcd-1)=1991,

b(acd-1)=1993,

c(abd-1)=1995,

d(abc-1)=1997.

1991、1993、1995、1997

均為奇數(shù),且只有

奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù),

a、b、c、d分別為奇數(shù).

a×b×c×d=奇數(shù).

a、b、c、d的乘積分別減去

a、b、c、d后,一定為偶數(shù).

這與原題等式組矛盾.

不存在滿足題設等式組的整數(shù)

a、b、c、d.

30.3×3數(shù)表各行、各列及兩條對角線之和彼此相等,設為S.

求證:

(1)S=3e;

(2)2(a+c+g+i)

=b+d+f+h+4e.

證明(1)S=a+e+i

=b+e+h

=c+e+g

=d+e+f,

相加得

4S=a+b+c+d

+e+f+g+h+i+3e,

故S=3e.(2)

S=a+b+c=b+e+h,

故a+c=e+h,

同理a+g=e+f,

g+i=e+b,

c+i=e+d,

四式相加得

2(a+c+g+i)

=b+d+f+h+4e.

31.甲、乙、丙、丁四人,每三個人的平均年齡

加上余下一人的年齡分別為

29、23、21和17,這四人中最大年齡與最小年齡的差是多少?

解: 設四個人的年齡分別為

a、b、c、d,根據(jù)題意有

由上述四式可知

比較⑤、⑥、⑦、⑧知,

d最大,c最小,

⑤-⑧得

2(d-c)/3=12.

所以d-c=18,

即這四個人中最大年齡與最小年齡的差為18.

32.有一滿池水,池底有泉總能均勻地向外涌流,

已知用24部A型抽水機6天可抽干池水,

若用21部A型抽水機8天也可抽干池水,

設每部抽水機單位時間的抽水量相同,要使這一池水永抽不干,

則至多只能用______部A型抽水機抽水

分別設原有水量a,每天涌入水量b,

每部抽水機每天抽水量為c

(單位:立方米)

a+6b=24×6c;

a+8b=21×8c

解得:b=12c,

a=72c.最多用12部

33.江堤邊一洼地發(fā)生了管涌,江水不斷地涌出,

假定每分鐘涌出的水量相等,如果用兩臺抽水機抽水,

40分鐘可抽完;如果用4臺抽水機抽水,16分鐘可抽完,

如果要在10分鐘內(nèi)抽完水,那么至少需要抽水機_____臺.

解:設開始抽水前管涌已經(jīng)涌出的水量為a立方米,

管涌每分鐘涌出的水量為b立方米,

又設每臺抽水機每分鐘可抽水c立方米,由條件可得: 

如果要在10分鐘內(nèi)抽完水,

那么至少需要抽水機的臺數(shù)為:

本題設了三個未知數(shù)a、b、c,

但只列出兩個方程.實質(zhì)上c是個輔助未知數(shù),在解方程時把c視為常數(shù),解出a,b(用c表示出來),然后再代入求出所要求的結果.

34.甲、乙、丙三個容器中盛有含鹽比例不同的鹽水.

若從甲、乙、丙中各取出重量相等的鹽水,

將它們混合后就成為含鹽10%的鹽水;

若從甲和乙中按重量之比為2:3來取,

混合后就成為含鹽7%的鹽水;

若從乙和丙中按重量之比為3:2來取,

混合后就成為含鹽9%的鹽水.

求甲、乙、丙三個容器中鹽水含鹽的百分數(shù).

分析:題設中有三種混合方式,但每種混合方式從各個容器中取出的鹽水的重量都是未知的,我們可以引進輔助未知數(shù),將這些量分別用字母表示.

解:設甲、乙、丙三個容器中鹽水含鹽的百分數(shù)分別為

x%、y%、z%第一次混合從甲、乙、丙三個容器中各取出

a克鹽水,則有

a× x%+ a× y%+ a× z%=3a×10%

從甲和乙中按重量之比為2:3來取鹽水時,

設從甲中取鹽水2m克,從乙中取鹽水3m克,則有 

2m × x%+ 3m × y%

=(2m +3m)×7%

從乙和丙中按重量之比為3:2來取鹽水時,

設從乙中取鹽水3n克,從丙中取鹽水2n克,則有     

3n × y%+ 2n × z%

=(3n+2n)×9%

將上面三式消去輔助未知數(shù)得:

答:甲、乙、丙三個容器中鹽水含鹽的百分數(shù)分別為

10%、5%、15%

本題中我們假設的未知數(shù)a、m、n不是題目所要求的,

而是為了便于列方程而設的,這種設元方法叫做輔助未知數(shù)法,

輔助未知數(shù)在求解過程中將被消去.

方程組D

方程組E

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