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最近總有孩子問老師什么是容斥原理

張娟老師今天就和大家一起來

探索有關(guān)容斥原理的知識

容斥原理

在利用加法原理進行分類計數(shù)時，需要做到“不重復、不遺漏”．具體來說，就是讓劃分出的每一類的范圍都不會重疊，而且能涵蓋所有的可能情況．然而，要進行滿足要求的分類，有時會比較麻煩．這時，可以先降低要求，保證“不遺漏”，將每一類的個數(shù)相加，最后只需排除掉重復的部分即可．這就是利用容斥原理來進行計數(shù)的主要思路．

容斥原理-解題公式

有兩類對象A和B，如圖所示，         

                                        

全體對象的個數(shù)：A+B-AB

有三類對象A、B、C，如圖所示，

                                      

全體對象的個數(shù)：A+B+C-AB-AC-BC+ABC

例題精煉

1． 在全班55名同學中，有47人會騎自行車，21人會滑旱冰，16人兩樣都會．請求出以下四類同學各有多少人：(1)會騎自行車，但不會滑旱冰；(2)會其中一樣；(3)會騎自行車，或者會滑旱冰；(4)兩樣都不會．

解：(1)31人；(2)36人；(3)52人；(4)3人．

2． 在1~100中，下列三類數(shù)各有多少個：(1)既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)；(2)是3的倍數(shù)，但不是2的倍數(shù)；(3)是2的倍數(shù)，或者是3的倍數(shù)；(4)既不是2的倍數(shù)，也不是3的倍數(shù)．

解：(1)16個；(2)17個；(3)67個；(4)33個．

3． 100名同學面向老師站成一排，從左往右由1開始依次報數(shù)．先讓報偶數(shù)的同學向后轉(zhuǎn)，再讓報3的倍數(shù)的同學向后轉(zhuǎn)．那么，這時仍然面向老師的同學有多少人？

解：仍然面向老師的同學是沒轉(zhuǎn)和轉(zhuǎn)了兩次的同學，即編號既不是偶數(shù)也不是3的倍數(shù)和編號是6的倍數(shù)的同學，有49人．

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