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代數(shù)化面積

4. △ABC 的面積為 1,D,E 為 AC 的三等分點,F,G 為 BC 的三等分點.求:

(1) 四邊形 PECF 的面積.

(2) 四邊形 PFGN 的面積

思路點拔:(1) 連結(jié) CP,設(shè) S△PDF=x,S△PDE=y,可建立關(guān)于 x,y 的方程組,解題的關(guān)鍵是把相關(guān)圖形的面積用 x,y 的代數(shù)式表示,并利用等分點導(dǎo)出隱含圖形的面積;

(2) 連結(jié) NC,仿 (1),先求出 △BNC 的面積,再得出 △BNG 的面積,進而可求四邊形 PFGN 的面積. 

(1) △ABC 的面積為 1,

D、E 為 AC 的三等分點,

F、G 為 BC 的三等分點,

連接 CP,

設(shè) S△PCF=x,

S△PCE=y.

則 x+3y=1/3;

3x+y=1/3,

兩式聯(lián)立可得:

x+y=1/6,

即 S四邊形PECF=1/6;

(2) 連 NC,

設(shè) S△BGN=a,

S△CEN=b,

則 S△NCG=2a,

S△NEA=2b,

則 3a+b=1/3;

2a+3b=2/3,

解得 a=1/21,

b=4/21,

故 S四邊形PFGN

=S△BEC-S△BGN-S四邊形PECF

=1/3-1/21-1/6

=5/42.

點評:本題考查三角形的面積結(jié)合二元一次方程組的應(yīng)用,求一些關(guān)系復(fù)雜的圖形面積,代數(shù)化是一個重要技巧,利用代數(shù)化,能清晰明朗地表示圖形面積之間的關(guān)系,從而可以化解或降低問題的難度.

5. 如圖,△ABC 的面積為 1.第一次操作:分別延長 AB,BC,CA 至點A1,B1,C1,使 A1B=AB,B1C=BC,C1A=CA,順次連結(jié) A1,B1,C1,得到△A1B1C1.

第二次操作:分別延長 A1B1,B1C1,C1A1 至點 A2,B2,C2,使A2B1=A1B1,B2C1=B1C1,C2A1=C1A1,順次連結(jié) A2,B2,C2,得到△A2B2C2.….

按此規(guī)律,要使得到的三角形的面積超過 2020,最少經(jīng)過___次操作.

分析:先根據(jù)已知條件求出 △A1B1C1 及 △A2B2C2 的面積,再根據(jù)兩三角形的倍數(shù)關(guān)系求解即可.

解:△ABC與△A1BB1 底相等 (AB=A1B),

高為 1:2(BB1=2BC),

故面積比為 1:2,

∵△ABC 面積為 1,

∴S△A1B1B=2.

同理可得,S△C1B1C=2,

S△AA1C=2,

∴S△A1B1C1

=S△C1B1C+S△AA1C+S△A1B1B+S△ABC

=2+2+2+1=7;

同理可證 S△A2B2C2

=7S△A1B1C1=49,

第三次操作后的面積為

7×49=343,

第四次操作后的面積為

7×343=2401.

故按此規(guī)律,要使得到的三角形的面積超過 2020,最少經(jīng)過 4 次操作.

故答案為:4.

點評:考查了三角形的面積,此題屬規(guī)律性題目,解答此題的關(guān)鍵是找出相鄰兩次操作之間三角形面積的關(guān)系,再根據(jù)此規(guī)律求解即可.

面積 A

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