每天叫醒你的不是鬧鐘，而是夢想和態(tài)度

難易指數(shù)：★★★★

適宜對象：初、高中

本期編號：D00082

關(guān)鍵詞：美國AMC數(shù)學(xué)競賽、AMC10A

2019年AMC10A真題11-15講解

[Problem 11]

11. How many positive integer divisors of 2019  are perfects quares or perfect cubes（ or both）？

答案：(C)

[分析與解答]

原題意為：2019的正整數(shù)約數(shù)中是完全平?數(shù)或完全??數(shù)的個(gè)數(shù)為？

由于：2019 = 39 * 619

所以完全平方數(shù)的約數(shù)有：

3a * 61b，a、b分別為：0、2、4、6、8，共：5×5=25個(gè)

完全立方數(shù)的約數(shù)有：

3a * 61b，a、b分別為：0、3、6、9，共4×4=16個(gè)

既是完全平方數(shù)又是完全立方數(shù)的約數(shù)為：

3a * 61b，a、b分別為：0、6，共2×2=4個(gè)

因此滿足條件的約數(shù)有：

25 + 16 - 4 = 37個(gè)

[Problem 12]

12. Melanie computes the mean  μ，the median M，and the modes of the 365 values that are the dates in the months of 2019．Thus her data consist of 12 1s，12 2s，．．．，12 28s，11 29s，11 30s，and 7 31s．Let d be the median of the modes．Which of the following statements is true？

答案：(E)

[分析與解答]

原題意為： 已知2019年的各個(gè)?的?期組成的365個(gè)數(shù)據(jù)（12 個(gè) 1，12 個(gè) 2，……，12 個(gè) 28，11 個(gè) 29，11 個(gè) 30，7 個(gè) 31），關(guān)于它們的平均數(shù)μ，中位數(shù) M，以及眾數(shù)的平均數(shù) d，下列命題正確的是？

此題要求我們理解：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念。

• 平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

• 中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按大小排列，如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個(gè)，中間的那個(gè)數(shù)據(jù)就是中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)有偶數(shù)個(gè)，中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均值就是中位數(shù)。

• 眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

[Problem 13]

13. Let △ABC be an isosceles triangle with BC=AC and ∠ACB= 40°． Contruct the circle with diameter BC，and let  D and  E  be the other intersection points of the circle with the sides AC and  AB， respectively. Let F be the intersection of the diagonals of the quadrilateral   BCDE．What is the degree measure of  ∠BFC ？ 

答案：(D)

[分析與解答]

原題意為：等腰△ABC中，BC=AC且 ∠ACB = 40°， 以 BC 為直徑作圓， 與  AC、AB分別交于D、E兩點(diǎn)。BD和CE交于點(diǎn) F，則∠BFC的度數(shù)是？

在等腰△ABC中，∠ACB = 40°，則：

∠CAB = ∠CBA = 70°

由于BC為直徑，則：

∠CEB = ∠CDB = 90°

在四邊形FEAD中，內(nèi)角和為360°，則有：

∠EFD = 360-90-90-70 = 110°

所以：∠BFC = ∠EFD = 110°

[Problem 14]

14. For a set of four distinct lines in a plane，there are exactly N distinct points that lie on two or more of the lines．What is the sum of all possible values of N？

答案：(D)

[分析與解答]

原題意為：對于一個(gè)平面上的四條直線，正好有N個(gè)不同的交點(diǎn)。N的所有可能值之和是多少？

當(dāng)直線兩兩相交時(shí)，交點(diǎn)數(shù)最多：

4條直線的交點(diǎn)數(shù)不可能為2。

可能交點(diǎn)數(shù)如下圖所示：

因此：N=0+1+3+4+5+6=19

[Problem 15]

15.  sequence of numbers is defined recursively by a1= 1，a2=3/7，and :

for all n?3 Then a2019 can be written as p/q，where p and q are relatively prime positive inegers．What is p + q？

答案：(E)

[分析與解答]

原題意為：數(shù)列 {an} 中 a1= 1，a2= 7/3，且:

其中 n?3．將 a2019寫成p/q的形式，其中 p、q 是互質(zhì)的正整數(shù)，則 p + q = ？

根據(jù)an通項(xiàng)公式，可轉(zhuǎn)換為：

因此，數(shù)列 {an} 的倒數(shù)成等差數(shù)列：

于是可得第2019項(xiàng)的分子：

a1+(n-1)d = 3+(2019-1)×4 = 8075

所以：

故：

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