本期我們將會講述2019年AMC10 A真題的部分內容。

上期：美國AMC10A數學競賽真題講解（一）

每天叫醒你的不是鬧鐘，而是夢想和態(tài)度

難易指數：★★★★

適宜對象：初、高中

本期編號：D00080

關鍵詞：美國AMC數學競賽、AMC10A

2019年AMC10A真題6-10講解

[Problem 6]

6.For how many of the following types of quadrilaterals does there exist a point in the plane of the quadrilateral that is equidistant from all four vertices of the quadrilateral?

• a square

• a rectangle that is not a square

• a rhombus that is not a square

• a parallelogram that is not a rectangle or a rhombus

• an isosceles trapezoid that is not a parallelogram

答案：(C)

[分析與解答]

原題意為：對于以下幾種類型的四邊形，有哪些在其平面中存在一個點與所有的四個頂點等距？

• 正方形

• 不是正方形的矩形

• 不是正方形的菱形

• 不是矩形或菱形的平行四邊形

• 不是平行四邊形的等腰梯形

此題實際上是考察“4點共圓”，其判定條件為：

• 4個點到一個定點的距離相等，如：正方形

• 四邊形的一組對角互補，如：矩形、等腰梯形

對于菱形，由于對角相等，如果要4點共圓，即：兩對角之和為180°，這樣的話，這兩個角就會是90°，從而可得知該菱形為正方形。

對于普通的平行四邊形，也是對角相等，同菱形一樣的道理，可推得其為矩形。

[Problem 7]

7.Two lines with slopes 

 and 2 intersect at (2, 2). What is the area of the triangle enclosed by these two lines and the line x + y = 10?

答案：(C)

[分析與解答]

原題意為：坡度為

和2的兩條直線在（2, 2）處相交。由這兩條線和x+y=10線圍成的三角形面積是多少？

根據題意知，坡度為

和2的兩條直線的方程為：

y-2=2(x-2)，即:y=2x-2

y-2=(x-2)/2, 即:y=x/2+1

另外，還可以求得，這兩條直線與x+y=10的交點分別為：

F(4, 6)、G(6, 4)

交點的距離為：

FG = 2√2

進而可求得，交點C(2, 2)與F、G的距離，分別為：

FC = GC = 2√5

解法1：三角形面積公式

根據上述分析，有▲FCG為等腰三角形，如下圖所示：

作▲FCG的高CN，交FG于N，則：

FN=NG=√2

則，在直角三角形中由勾股定理可得：

CN=3√2

于是▲FCG的面積為：

2√2 × 3√2 ÷ 2 = 6

解法2：高等數學-積分求面積

根據題意及上述直線方程，我們可以作出如下圖：

根據積分的思想，封閉圖形的面積為：

[Problem 8]

8.The figure below shows line L with a regular, infinite, recurring pattern of squares and line segments.

How many of the following four kinds of rigid motion transformations of the plane in which this figure is drawn, other than the identity transformation, will transform this figure into itself?

• some rotation around a point of line L

• some translation in the direction parallel to line L

• the reflection across line L

• some reflection across a line perpendicular to line L

答案：(C)

[分析與解答]

原題意為：下圖顯示的是L線，有規(guī)則的、無限的、重復出現(xiàn)的正方形和線段圖案。除了恒等式變換外，下列四種繪制此圖形的平面運動變換方案中，有多少種能將此圖形轉換為自身？

1. 繞直線L點的旋轉

2. 與L線平行的變換

3. 與直線L的鏡像

4. 一條垂直于直線L的鏡像

• 1.正確，在上向正方形和下向正方形中間的點上旋轉180°將產生相同的圖形；

• 2.正確，向左或向右的變換，可使線上和線下的圖形重新對齊（圖形向兩個方向無限延伸）。

• 3.錯誤，會導致向上方塊變成向下方塊；

• 4.錯誤，會導致?lián)Q向。

[Problem 9]

9.What is the greatest three-digit positive integer n for which the sum of the first n positive integers is not a divisor of the product of the first n positive integers?

答案：(B)

[分析與解答]

原題意為：滿足前n個正整數之和，但不是前n個正整數之積的因數，最大三位數正整數n是多少？

前n個數之積為：

J = 1×2×3×……×n

等差數列求和：二年級“等差數列”，7種方法解出新高度

根據等差數列求和公式有，前n個正整數之和為：

S = (1+n)n/2

如果n為奇數，則(1+n)/2為[1-n]之間的數，此時S必然是J的因數。

如果n為偶數，則n/2為[1-n]之間的數，要使S不是J的因數，則：(1+n)必須是素數。

由于998+1=999=9×111，不是素數；而996+1=997，是素數，因此所求的數為996。

[Problem 10]

10.A rectangular floor that is 10 feet wide and 17 feet long is tiled with 170 one-foot square tiles. A bug walks from one corner to the opposite corner in a straight line. Including the first and the last tile, how many tiles does the bug visit?

答案：(C)

[分析與解答]

原題意為：一塊10英尺×17英尺的長方形地板上，鋪了170塊面積為1平方英尺的瓷磚。一只蟲子沿著直線，從一個角落走到另一個角落。包括第一塊和最后一塊磚，這只蟲子總共走了多少塊磚?

我們將長方形的地板制作為一個直角坐標系，如下圖所示：

蟲子從A點爬到對角點B

在此直角坐標系中，直線AB的方程為：

蟲子經過多少塊磚，表現(xiàn)為直線AB與垂直于x軸的整數直線族、垂直于y軸的整數直線族的交點數。即：

x=n（n=0，1，……，16，17）

y=m（m=0，1，2，……，9，10）

n和m的數目之和為：18+11=29。

n和m公用的點為A、B，共2個。

重復計算的方塊，A與E點共用一塊，而F與B不共用。

因此共有：29-2-1=26塊。

咨詢北京小學數學相關課程請撥打電話 16619908263 （同微信號）