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《幾何原本》第五公設(shè)有關(guān)命題簡介

作者：劉瑞祥

作品編號：002

投稿時間：2020.4.30

一

《幾何原本》中的第五公設(shè)，一直是《幾何原本》研究的中心問題，直到"非歐幾何"創(chuàng)立以后才獲得解決。本文不是回顧有關(guān)歷史的，而是通過總結(jié)有關(guān)問題來梳理一下《幾何原本》里這個公設(shè)的地位。不過本人僅是普通的數(shù)學(xué)愛好者，錯謬之處在所難免，敬請讀者指正。

《幾何原本》中的第五公設(shè)，原文如下：同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側(cè)的兩個內(nèi)角之和小于二直角的，則這兩條直線經(jīng)無限延長后在這一側(cè)一定相交。這一表達相當(dāng)復(fù)雜，現(xiàn)代數(shù)學(xué)往往以"過直線外一點（最多）只能作一條平行線"代替第五公設(shè)；在《幾何原本》中，與第五公設(shè)相關(guān)的部分命題如下：

平行線的性質(zhì)命題、傳遞性、唯一性命題

【I.29】 一直線和兩條平行直線相交，所成的內(nèi)錯角相等，同位角相等，且同旁內(nèi)角的和等于二直角。

【I.30】 一些直線平行于同一條直線，則它們也互相平行。

【XI.9】 兩條直線平行于和它們不共面的同一直線時，這兩條直線平行。

三角形及多邊形的內(nèi)角和、外角和命題

【I.32】 在任意三角形中，如果延長一邊，則外角等于二內(nèi)對角的和，而且三角形的三個內(nèi)角的和等于二直角。

勾股定理及逆定理、余弦定理

【I.47】 在直角三角形中，直角所對的邊上的正方形等于夾直角兩邊上正方形的和。

【I.48】 如果在一個三角形中，一邊上的正方形等于整個三角形另外兩邊上正方形的和，則夾在后兩邊之間的角是直角。

【II.12】 在鈍角三角形中，鈍角所對的邊上的正方形比夾鈍角的二邊上的正方形的和還大一個矩形的二倍。即由一銳角向?qū)叺难娱L線作垂線，垂足到鈍角之間一段與另一邊所構(gòu)成的矩形。

【II.13】 在銳角三角形中，銳角對邊上的正方形比夾銳角二邊上正方形的和小一個矩形的二倍。即由另一銳角向?qū)呑鞔怪本€，垂足到原銳角頂點之間一段與該邊所構(gòu)成的矩形。

平行線截線段成比例及三角形相似命題

【VI.2】 如果一條直線平行于三角形的一邊，則它截三角形的兩邊成比例線段；又，如果三角形的兩邊被截成比例線段，則截點的連線平行于三角形的另一邊。

【VI.4】 在兩個三角形中，如果各角對應(yīng)相等，則夾等角的邊成比例，其中等角所對的邊是對應(yīng)邊。

【VI.5】 如果兩個三角形它們的邊成比例，則它們的角是相等的，即對應(yīng)邊所對的角相等。

【VI.6】 如果兩個三角形有一個的一個角等于另一個的一個角，且夾這兩角的邊成比例。則這兩個三角形是等角的，且這些等角是對應(yīng)邊所對的角。

【VI.7】 如果在兩個三角形中，有一個的一個角等于另一個的一個角，夾另外兩個角的邊成比例，其余的那兩個角都小于或者都不小于直角。則這兩個三角形的各角相等，即成比例的邊所夾的角也相等。

【XI.17】 如果兩直線被平行平面所截，則截得的線段有相同的比。

建立在平行、比例基礎(chǔ)上的面積、體積命題

【I.35】 在同底上且在相同兩平行線之間的平行四邊形彼此相等。

【I.41】 如果一個平行四邊形和一個三角形既同底又在二平行線之間，則平行四邊形是這個三角形的二倍。

【VI.1】 等高的三角形或平行四邊形，它們彼此相比如同它們的底的比。

【VI.14】 在相等且等角的平行四邊形中，夾等角的邊成互逆比例；在等角平行四邊形中，若夾等角的邊成互反比例，則它們相等。

【VI.16】 如果四條線段成比例，則兩外項構(gòu)成的矩形等于兩內(nèi)項構(gòu)成的矩形；并且如果兩外項構(gòu)成的矩形等于兩內(nèi)項構(gòu)成的矩形，則四條線段成比例。

【VI.19】 相似三角形互比如同其對應(yīng)邊的二次比。

【XII.1】 圓內(nèi)接相似多邊形之比如同圓直徑上正方形之比。

【XII.5】 以三角形為底且具有等高的兩個棱錐的比如同兩底的比。

【XII.8】 以三角形為底的相似棱錐的比如同它們對應(yīng)邊的三次比。

圓冪定理及逆定理

【III.35】 如果在一個圓內(nèi)有兩條相交的弦，把其中一條分成兩段使其構(gòu)成的矩形等于另一條分成兩段構(gòu)成的矩形。

【III.36】 如果在一個圓外取一點，且由它向圓作兩條直線，其中一條與圓相截而另一條相切，則由圓截得的整個線段與圓外定點和凸弧之間一段構(gòu)成的矩形，等于切線上的正方形。

【III.37】 如果在圓外取一點，并且由這點向圓引兩條直線，其中一條與圓相截，而另一條落在圓上。假如由截圓的這條線段的全部和這條直線上由定點與凸弧之間圓外一段構(gòu)成的矩形等于落在圓上的線段上的正方形，則落在圓上的直線切于此圓。

正多面體相關(guān)命題

【XIII.13】 在已知球內(nèi)作內(nèi)接棱錐，并且證明球直徑上的正方形是棱錐一邊上正方形的一倍半。

【XIII.14】 像前面的情況一樣，作一個球的內(nèi)接八面體；再證明球直徑上的正方形是八面體一邊上正方形的二倍。

【XIII.15】 像作棱錐一樣，求作一個球的內(nèi)接立方體；并且證明球直徑上的正方形是立方體一邊上正方形的三倍。

【XIII.16】 與前面一樣，作一個球的內(nèi)接二十面體；并且證明這二十面體的邊是稱為次線的無理線段。

【XIII.17】 與前面一樣，作一個球的內(nèi)接十二面體；并且證明這十二面體的邊是稱為余線的無理線段。

其它命題

【IV.5】 求作已知三角形的外接圓。

【XI.21】 構(gòu)成一個立體角的所有平面角的和小于四直角。

幾點說明：

1、【I.29】表示第一卷第29命題，后同；

2、由于歷史原因，其中有一些名詞不太好懂，比如【XIII.17】（第十三卷命題17）中的"余線"，請參閱《幾何原本》中文版；

3、《幾何原本》中幾乎所有比較"復(fù)雜"的命題都和第五公設(shè)有關(guān)，上表并未全部列出。

二

下面針對其中幾個命題作一介紹：

I.32------三角形內(nèi)角和定理

這是一個應(yīng)用第五公設(shè)的重要定理，證明是簡單的。關(guān)于這個命題還有下面一個貌似沒有用到第五公設(shè)的證明：

這一"證明"見于《初等幾何研究》（胡杞、周春國著，北京師范大學(xué)出版社1989年版），原著中是供學(xué)習(xí)者分析的。這里最關(guān)鍵的是用到三角形ABD和ACD內(nèi)角和相等，而這是沒有依據(jù)的。也可以這樣說，"所有三角形內(nèi)角和都相等"和第五公設(shè)等價。（在阿基米德公理成立的前提下）

IV.5------求作已知三角形的外接圓

這個命題的作法和證明都很簡單，這里要說明的是其證明過程中似乎沒有用到第五公設(shè)，那為什么要把這個命題也列在其中呢？

這里假設(shè)了這樣一個前提：AB和AC邊的中垂線一定能相交于一點。而如果第五公設(shè)不成立的話，兩條相交線的垂線不一定相交，即此時并非所有三角形都有外接圓。

這個命題給我們一個啟發(fā)------第五公設(shè)有時會隱藏得相當(dāng)深，因此，我們在分析一個命題所依賴的公理時要非常小心。

XI.21------構(gòu)成一個立體角的所有平面角的和小于四直角

這個命題的直觀形象是，將一個棱錐的側(cè)面沿著側(cè)棱剪開后鋪成平面，不會鋪成一周，總會留有空隙?！稁缀卧尽吩谧C明這個命題時用到了三角形內(nèi)角和定理，從而間接地用到了平行公設(shè)。

法國數(shù)學(xué)家阿達瑪所著的教科書《立體幾何》（朱德祥譯，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社1966年版）給出了下面的證明方法：

這里看上去只用到了"由三個平面構(gòu)成的立體角，任意兩個平面角之和大于第三個平面角"。到底是這個證明根本就不需要第五公設(shè)還是僅僅是沒有"顯式"地用第五公設(shè)？筆者抱有相當(dāng)?shù)囊蓡枴?/span>

三

我一向認為，只有從正反兩個方面來看問題，才能獲得對問題的正確認識，所以這里給大家總結(jié)一下沒有用到第五公設(shè)的命題。如同前面所說的一樣，這里也沒有列出全部命題。

平行線存在命題、判定命題

【I.27】 如果一直線和兩直線相交所成的錯角彼此相等，則這二直線互相平行。

【I.28】 如果一直線和兩直線相交所成的同位角相等，或者同旁內(nèi)角的和等于二直角，則這二直線互相平行。

【I.31】 過一已知點作一直線平行于已知直線。

三角形全等命題

【I.4】 如果兩個三角形中，一個的兩邊分別等于另一個的兩邊，而且這些相等的線段所夾的角相等，那么，它們的底邊等于底邊，三角形全等于三角形，這樣其余的角也等于相應(yīng)的角，即那些等邊所對的角。

【I.8】 如果兩個三角形的一個有兩邊分別等于另一個的兩邊，并且一個的底等于另一個的底，則夾在等邊中間的角也相等。

【I.26】 如果在兩個三角形中，一個的兩個角分別等于另一個的兩個角，而且一邊等于另一個的一邊，即或者這邊是等角的夾邊，或者是等角的對邊，則它們的其它的邊也等于其它的邊，且其它的角也等于其它的角。

不等式命題

【I.16】 在任意三角形中，若延長一邊，則外角大于任意一個內(nèi)對角。

【I.17】 在任何三角形中，任意兩角之和小于兩直角。

【I.20】 在任何三角形中，任意兩邊之和大于第三邊。

其它一些簡單命題

【I.5】 在等腰三角形中，兩底角彼此相等，并且若向下延長兩腰，則在底以下的兩個角也彼此相等。

【I.9】 二等分一個已知直線角。

【I.15】 如果兩直線相交，則它們交成的對頂角相等。

【III.17】 由已知點作直線切于已知圓。

下面主要說明其中的兩個命題：

一是【I.31】，即平行線的作法，這已經(jīng)是【I.29】后面的命題了，所以所謂"第一卷從【I.29】開始的命題都和第五公設(shè)有關(guān)"的說法是不正確的。

另外一個是【III.17】------從圓外一點作切線，《幾何原本》里是這樣作的：

這里就不列出原書中的證明了。

現(xiàn)行中學(xué)教材里，如果給了圓外一點A和圓心B，則連接AB，然后以線段AB的中點C為圓心、AB長度一半為半徑作圓，與已知圓交于D、E兩點，直線AD、AE即為所作切線。

但這需要一個前提------直徑所對的圓周角為直角，從而要間接用到第五公設(shè)。（注意："切線與過切線點的半徑垂直"這一點，無須第五公設(shè)）

筆者選擇這個命題還有一個考慮，那就是以這個命題來表明在第一卷以后還有一些和第五公設(shè)無關(guān)的命題，而事實上第三卷的【III.1】~【III.20】和第十一卷（自此《幾何原本》轉(zhuǎn)入立體幾何部分）的【XI.1】~【XI.8】都和第五公設(shè)無關(guān)。當(dāng)然，第五卷比例論、第七至第九卷數(shù)論、第十卷不可公度量亦與第五公設(shè)無關(guān)，這是毋庸多言的（第十卷用到了面積，但本質(zhì)是數(shù)的乘法）。