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1.1、( ? )

「答案解析」

注意觀察，要利用下式子里的20。

1.2、( ? )

「答案解析」

提取公因式。

1.3、( ? )

「答案解析」

注意利用平方差公式：

所以：

利用首尾相加法：

1.4、( ? ?)

「答案解析」

此題不能使用裂項(xiàng)求和法，參考前面發(fā)布的第28屆試題，題目相同。

[數(shù)學(xué)]第28屆YMO交流活動(dòng)6年級(jí)初賽試題

這里要利用下面的公式：

注意到分母里的每項(xiàng)里的兩個(gè)乘數(shù)之和都是301，因此，我們可以提取一個(gè)301出來(lái)，

所以：

后面那段大分?jǐn)?shù)項(xiàng)等于1，所以。

2、計(jì)算：

那么，( ? ?)。

「答案解析」

這個(gè)只能死算，交叉相乘，可以解得：

同樣，可以解得：

3、商店一次進(jìn)貨6桐油，質(zhì)量（單位為千克）分別為15，16、18、19、20、?31，上午賣出去2桶，下午賣出去3桶，下午賣出去的油剛好是上午賣出去的2倍，下午賣出去的油共重( ? ?)千克。

「答案解析」

仔細(xì)分析題意，為了方便描述，不妨設(shè)下午賣出去的油是，上午賣出去的油是，

那么，必有：

因此，下午賣出去的油的質(zhì)量一定是個(gè)偶數(shù)。

同時(shí)，有：

因此，賣出去的油一定是3的倍數(shù)。

而，

因此，沒(méi)有賣出去的油只能是20千克。

而：

因此，

因此，下午賣出去的油就是千克。

可以驗(yàn)算下，看看是哪三桶油一共重66千克。

4、如下圖，在直角三角形ABC中，D是斜邊AB上一點(diǎn)，正方形CEDF的邊長(zhǎng)是7，若灰色部分（棋盤）的積是35，則中間陰影(斜線)部分的面積是( ? ?)。

「答案解析」

小學(xué)的幾何一般就是用一半模型、蝴蝶模型，或者面積比例等幾個(gè)比較簡(jiǎn)單的方法，還有旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱之類的方法。

這個(gè)題目想復(fù)雜了的話，如果用平面幾何，或者面積比例關(guān)系的話，計(jì)算量非常大。

其實(shí)，我們可以用一半模型來(lái)解決它。

如上圖所示，我們記所求的四邊形面積為s，記其他四個(gè)三角形的面積分別為s1、S2、S3、S4。

仔細(xì)觀察，根據(jù)等底等高的三角形和矩形的面積關(guān)系，我們可以發(fā)現(xiàn)：

由于：

所以：

其中，，所以：

也就是說(shuō)，所求四邊形的面積為7。

5、從101到900的自然數(shù)中，數(shù)字和能被8整除的數(shù)共有( ? )個(gè)。

「答案解析」

這道題，在第28屆YMO六年級(jí)初賽中出現(xiàn)過(guò)，請(qǐng)參考前面發(fā)表的解析。

[數(shù)學(xué)]第28屆YMO交流活動(dòng)6年級(jí)初賽試題

考慮一個(gè)三位數(shù)的十位和個(gè)位，十位數(shù)上可以選擇0到9，個(gè)位上也可以選擇0到9，那么后兩位就有種選擇方法。只要后兩位固定了，那么百位數(shù)上總能從1到8中挑一個(gè)出來(lái)，從而使得數(shù)字和被8整除。

可以看到，數(shù)字和類的題目也只能針對(duì)三位數(shù)出題了。

6、是( ? )的平方。

「答案解析」

看著很嚇人，前面的這樣的階梯數(shù)是5個(gè)1，也就是的倍數(shù)。階梯數(shù)里最高數(shù)字是幾，就是幾位全1數(shù)的倍數(shù)。

所以是的平方。

7、已知九位數(shù)既是9的倍數(shù)，又是11的倍數(shù)，那么，這個(gè)九位數(shù)是( ? ?)。

「答案解析」

根據(jù)整除的特征，有：

同時(shí)，有：

因?yàn)锳和B都是小于9的數(shù)字，所以，有：

所以，

所以，這個(gè)九位數(shù)是。

8、把102分拆成三個(gè)不同質(zhì)數(shù)的和，共有( ? )種方法。

「答案解析」

除了2以外，其他的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，而102是偶數(shù)，所以三個(gè)數(shù)中必定有2。

那么，其他兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是100。

在腦袋里遍歷下質(zhì)數(shù)表，可以搜尋到：

所以，一共有6種方法。

9、四個(gè)人傳球，每個(gè)人不能傳給自己，如果初始時(shí)球在A手中，經(jīng)過(guò)4次傳球后仍然回到A手中，那么共有( ? )種不同的傳球方式。

「答案解析」

參考第28屆YMO六年級(jí)初賽第15題。

[數(shù)學(xué)]第28屆YMO交流活動(dòng)6年級(jí)初賽試題

本題是4個(gè)人，第15題是4個(gè)城市。差別只在于本題只有4次傳球，第15題是經(jīng)過(guò)了5個(gè)城市。

因此，本題共有種方式。

10、一個(gè)自然數(shù)分別與另外兩個(gè)相鄰奇數(shù)相乘，所得的兩個(gè)積相差190，那么這個(gè)數(shù)是( ? ?)。

「答案解析」

相鄰奇數(shù)差2，因此這個(gè)數(shù)是。

41、一個(gè)偶數(shù)的數(shù)字和是41，這個(gè)偶數(shù)最小是( ? ?)。

「答案解析」

要想偶數(shù)最小，末位一定是8，中間位盡量是9。

因此，首位是6，末位是8，中間3位是9。

這個(gè)偶數(shù)就是。

12、甲、乙、丙三人進(jìn)行萬(wàn)米賽跑，甲是最后一個(gè)起跑的，在整個(gè)比賽過(guò)程中，甲與乙、丙的位置共交換了7次，則比賽的結(jié)果甲是第( ? ?)名。

「答案解析」

參考第28屆YMO六年級(jí)初賽第18題。

[數(shù)學(xué)]第28屆YMO交流活動(dòng)6年級(jí)初賽試題

交換了1次，甲肯定就是第二名。

再交換1次，甲不是第一名就是第三名，再交換1次，甲又回到了第二名。

可以看到，只要是交換了奇數(shù)次，甲就會(huì)回到第二名。

13、有些數(shù)，它的各位數(shù)字之積是質(zhì)數(shù)，我們稱這樣的自然數(shù)是“YMO數(shù)”，小于10000的最大“YMO數(shù)”是( ? ?)。

「答案解析」

參考第28屆YMO六年級(jí)初賽第12題。

[數(shù)學(xué)]第28屆YMO交流活動(dòng)6年級(jí)初賽試題

一位數(shù)字，最大的質(zhì)數(shù)是7，最小的是2。

既然各位數(shù)字之積是質(zhì)數(shù)，那么只能是某個(gè)質(zhì)數(shù)和多個(gè)1相乘。

因此，小于10000的最大YMO數(shù)就是。

14、將55拆成10個(gè)質(zhì)數(shù)之和，要求最大的質(zhì)數(shù)盡可能小，那么其中最大的質(zhì)數(shù)是( ? ?）。

「答案解析」

除了質(zhì)數(shù)2，其余的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，因此，偶數(shù)個(gè)非2質(zhì)數(shù)之和必定是偶數(shù)。

因此，其中必有一個(gè)質(zhì)數(shù)2。

那么，其他9個(gè)質(zhì)數(shù)的平均值為，平均值在5和6之間。

猜測(cè)最大的質(zhì)數(shù)就是7，那么比7小的其他質(zhì)數(shù)就只有3和5了。

假設(shè)3有x個(gè)，5有y個(gè)，7有z個(gè)，有如下不定方程組：

用，可以得到：

我們可以嘗試下讓，則，那么，經(jīng)驗(yàn)證，滿足要求。

很明顯，，那么，就說(shuō)明最小的質(zhì)數(shù)就是7。

15、，那么( ? ?)。

「答案解析」

從等式可以推論出：

從而可以推出：

16、六位數(shù)能被44整除，那么這個(gè)六位數(shù)最大為( ? ?)。

「答案解析」

該數(shù)能被4和11整除，那么2B能被4整除，那么B就可以是0、?4或8。

那么：

所以，或5，

所以，存在下面幾組解：

所以，該六位數(shù)就是。

17、的結(jié)果為，那么=( ? )。

「答案解析」

所以，。

所以，根據(jù)被11整除的特征，有：

也就是：

所以，。

所以，。

18、有一樓梯共有12級(jí)，每步可以走1級(jí)或者2級(jí)，要求第6級(jí)必須要踩到，12級(jí)全部走完共有( ? ? ?)種不同的走法。

「答案解析」

這道題容易想道的就是分類匯總，前面的6級(jí)樓梯，可以按如下方式分類：

(1)每步走1級(jí)：只有1種走法。

(2)四步走1級(jí)，一步走2級(jí)：只有5種走法。

(3)兩步走1級(jí)，兩步走2級(jí)：只有6種走法。

(4)每步走2級(jí)：只有1種走法。

所以，前面6級(jí)樓梯有種走法。

同理，后面6級(jí)樓梯也有13種走法。

因此，一共有種走法。

但如果中間的第6步?jīng)]有必須要求踩到，再用上面的分類匯總就非常麻煩，類別太多，每個(gè)類也不好統(tǒng)計(jì)。

這種題目其實(shí)有一種更巧妙的辦法，其實(shí)就是遞歸。

假設(shè)有N級(jí)，我們第一步走1級(jí)，那剩下就有N-1級(jí)樓梯要走，那在N-1級(jí)樓梯里，是不是又碰到了一模一樣要解決的問(wèn)題呢？這種方法就叫遞歸。

同時(shí)，如果我們第二步走2級(jí)，那剩下就有N-2級(jí)樓梯要走，在這N-2級(jí)樓梯里，又碰到了一樣的問(wèn)題。

在編程中，我們將此種方法定義為一個(gè)函數(shù)F，那么N級(jí)樓梯的走法就是F(N)種，那么N-1級(jí)樓梯的走法就是F(N-1)種，那N-2級(jí)就是F(N-2)種。

既然允許走1步或2步，那么，，這里的，。

這就是那個(gè)有名的斐波拉契數(shù)列問(wèn)題。

19、有一口井，每小時(shí)涌出的水量相同。用甲抽水機(jī)抽水，20小時(shí)可以抽干；用乙抽水機(jī)抽水，30小時(shí)可以抽干；若甲乙同時(shí)抽水，8小時(shí)可以抽干。那么這口井抽干之后，( ? ?)小時(shí)又可涌滿。

「答案解析」

用甲抽水的時(shí)候，抽水減去進(jìn)水的效率差是，用乙抽水的時(shí)候，抽水減去進(jìn)水的的效率是。

因此，這兩個(gè)數(shù)值相加的時(shí)候，恰好多了一次進(jìn)水的效率。

因此，進(jìn)水的效率就是：

也就是，24小數(shù)后，空井就會(huì)被灌滿。

20、有一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要36天完成，乙單獨(dú)做需要30天完成，丙單獨(dú)做需要48天完成，現(xiàn)在由甲、乙、丙三人同時(shí)做，在工作期間，丙休息了整數(shù)天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成這項(xiàng)工程也用了整數(shù)天，那么丙休息了(? ? )天。

「答案解析」

甲乙丙的效率之和為：

甲乙的效率之和為：

設(shè)甲乙丙一起工作了天，丙休息后，甲乙一起工作了天，有：

也就是：

從而可得：

可以令，繼續(xù)縮小范圍。也可以通過(guò)觀察法來(lái)確認(rèn)的值。

也可以將后面的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成如下方程：

很明顯，是符合要求的唯一解。

那么，，也就是丙休息了11天。

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