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（把正確的答案填在括號內，每題 4 分，共 100 分）

1、 如果

那么 x=（ ?）。

「答案解析」

裂項求和。

由于：

所以，x=18。

2、三位數(shù)，其中，這樣的數(shù)有（ ?）個。

「答案解析」

可以分類枚舉。

1）最小數(shù)字為0的時候，只有9+9+0一種組合，共2種排列。

2）最小數(shù)字為1的時候，有1+8+9一種組合，共6種排列。

3）最小數(shù)字為2的時候，有2+7+9和2+8+8兩種組合，共6+3=9種排列。

4）最小數(shù)字為3的時候，有3+6+9、3+7+8兩種組合，共6x2=12種排列。

5）最小數(shù)字為4的時候，有4+5+9、4+6+8、4+7+7三種組合，共6x2+3=15種排列。

6）最小數(shù)字為5的時候，有5+5+8、5+6+7兩種組合，共3+6=9種排列。

7）最小數(shù)字為6的時候，有6+6+6一種組合，共1種排列。

綜上所述，一共有2+6+9+12+15+9+1=54個。

此類分類方法稍微麻煩了些，不過便于理解。

3、連續(xù)擲一枚骰子?3?次，三次點數(shù)之和為?13?的不同拋擲結果有（ ? ）種。

「答案解析」

方法同上，分類枚舉。

1）最小點數(shù)為1時，有1+6+6一種組合，共3種排列結果。

2）最小點數(shù)為2時，有2+5+6一種組合，共6種排列結果。

3）最小點數(shù)為3時，有3+4+6和3+5+5兩種組合，共6+3=9種排列結果。

4）最小點數(shù)為4時，有4+4+5一種組合，共3種排列結果。

綜上所述，一共有3+6+9+3=21種結果。

4、一個四位數(shù)，每一位數(shù)字都是奇數(shù)，各個數(shù)位上的數(shù)字和為?16，這樣的四位數(shù)一共有（ ? ? ? ? ? ）個。

「答案解析」

方法同上，分類枚舉。

1）1+1+5+9，共種。

2）1+1+7+7，共種。

3）1+3+3+9，共種。

4）1+3+5+7，共種。

5）1+5+5+5，共種。

6）3+3+3+7，共種。

7）3+3+5+5，共6種

綜上所述，一共種。

5、乘積：1022×1023×1024×1025×1026×……×2020×2021×2022?是一個多位數(shù)，這個多位數(shù)的尾部有（ ?）個連續(xù)的零。

「答案解析」

本題就是求該多位數(shù)中含有多少個2x5，由于2的數(shù)量遠遠超過5，也就是求包含多少個5。

2022!中5的因素個數(shù)是：

1021!中5的因素個數(shù)是：

因此，乘積中的多位數(shù)尾部連續(xù)個0的個數(shù)就是：

末尾一共有250個連續(xù)的零。

或者這樣想。

我們依次去除5，能整除的留下商，不能整除的丟棄。

第一輪就是5x205,5x206,...,5x404，共404-204=200個5。

第二輪就是5x41,5x42,...,5x80，共80-40=40個5。

第三輪就是5x9,5x10,...,5x16，共16-8=8個5。

第四輪就是5x2,5x3，共2個5。

累加起來也就是有250個。

可以參考：[數(shù)學]第30屆YMO交流活動6年級初賽試題?第五題。

6、如圖，四邊形?ABCD?與四邊形?ACEF?都是平行四邊形，三角形?ABC?的面積是?23?平方厘米， 三角形?AFD?的面積是?12?平方厘米，那么三角形?CDE?的面積是（ ? ?）平方厘米。

「答案解析」

這里用一半模型。

可以知道三角形CDE的面積加上AFD的面積就是23平方厘米。

三角形CDE的面積就是23-12=11平方厘米。

7、能被8整除，但不能被12整除的三位數(shù)共有( ? )個。

「答案解析」

8和12的最小公倍數(shù)是24。

從1~999，8的倍數(shù)有[999/8]=124個，24的倍數(shù)有[1000/24]=41個。

從1~100，8的倍數(shù)有[100/8]=12個，24的倍數(shù)有[100/24]=4個。

因此，滿足題意的三位數(shù)共有：

個。

8、把?2022?表示為若干個連續(xù)自然數(shù)的和，有（ ?）種不同的表示方法。（注意：以?6＝1+2+3＝2+1+3?為例，這算是一種表示方法，它們只是加數(shù)的次序不同）

「答案解析」

先將2022分解，有：

我們依次拿18以內的質數(shù)去除，可以判斷出337是質數(shù)。

考慮下連續(xù)自然數(shù)和的特性，只有如下幾種：

504,505,506,507，

673,674,675，

163,164,..,168,169,...,173,174。

共三組。

9、計算：（ ? ）.

「答案解析」

這可以首尾用立方和公式，不過計算量比較大，也可以用連續(xù)的立方和公式。

也就是：

所以：

。

10、已知?a、b、c?都是質數(shù),且?b-a=c-b=34，則?a+b+c=（ ? ）。

「答案解析」

質數(shù)一般都會牽涉到2，可惜這道不是。

從條件來看，只能知道a+c=2b和a<b<c之類的推斷。

這個不好算，我們一般都背過100以內的質數(shù)表吧。

我們就拿最小的3去嘗試，可以發(fā)現(xiàn)：

3,37,71是一組解。

對于大于3的質數(shù)，我們可以寫成6x+1或6x-1的形式。

令a=6x-1,b=6y-1,c=6z-1，

1）對于6x-1

由于：

很明顯，6x+33是3的倍數(shù)，6y-1不是3的倍數(shù)，無解。

2）對于6x+1

由于：

同理，無解。

因此，3,37,71是唯一解。

所以，所求結果是。

11、當自然數(shù)?n?的值依次取?1，2，3，…，2021，2022?時，算式[n÷2]+[n÷3]+[n÷5]有（ ? ?） 個不同的值。

(注：[x]表示不超過 x 的最大的自然數(shù))

「答案解析」

這個一臉懵，半天沒找到規(guī)律，依題意，我們先以2x3x5=30一循環(huán)來找規(guī)律吧。

我們先考慮從0~2009，將自然數(shù)n記為：n=30k+r(0<k<68,0<r<30)。

那么，

可以看到，自然數(shù)每30一循環(huán)的時候，算式的結果每31一循環(huán)，因此，在不同循環(huán)的30個數(shù)內，結果是沒有重復的。

我們可以繼續(xù)分解下，譬如將r記為6t+v之類的，繼續(xù)縮小范圍。

這里，選擇死算，依次將0~29這30個數(shù)的規(guī)律寫下來，中間三列是商，。

可以看到，只有22個不同的結果。

因此，我們可以推斷出，在0~2009內，一共有67x22=1474個不同的結果。

我們再考慮2010~2022，其相當于0?~?12，可以看到，這里又有10個不同的結果。

因此，所求算式就有1474+10=1484個不同的結果。

注意了，平時學習的時候可以這樣分析，考試的時候注意下應試技巧，不需要寫得這么細致，有時候心算或寫最后一列即可。

12、計算：S=1×3+3×5+5×7+…+19×21+21×23=（ ?）。

「答案解析」

拆分成有規(guī)律的。

上面用到了的平方和求和公式：

平方差公式：

用其他的方法感覺沒這樣直接。

13、分母是?2022?的最簡真分數(shù)的和是（ ?）。

「答案解析」

由于2022=2x3x337。

根據(jù)歐拉函數(shù)，最簡真分數(shù)的個數(shù)是：

因此，其最簡真分數(shù)的和為672/2=376。

參考第23屆的第三題，這里的解答詳細些。

14、2022?的數(shù)字和是?2+0+2+2=6，從?1?至?2022?所有自然數(shù)的數(shù)字之和是（ ? ）。

「答案解析」

分類匯總。

記1+2+3+...+9=45。

1）先計算從0~999這1000個自然數(shù)的數(shù)字之和。

個位數(shù)上的數(shù)字之和就是100x45，

十位數(shù)上的數(shù)字之和就是100x45，

百位數(shù)上的數(shù)字之和就是100x45。

2）再計算從1000~1999這1000個自然數(shù)之和。

個位數(shù)上的數(shù)字之和就是100x45，

十位數(shù)上的數(shù)字之和就是100x45，

百位數(shù)上的數(shù)字之和就是100x45。

千位數(shù)上的數(shù)字之和就是1000。

3）最后計算從2000~2022這23個自然數(shù)之和。

個位數(shù)上的數(shù)字之和就是2x45+3=93`，

十位數(shù)上的數(shù)字之和就是10x1+2x3=16，

百位數(shù)上的數(shù)字之和就是0。

千位數(shù)上的數(shù)字之和就是23x2=46。

綜上所述，所求數(shù)字之和為13500+14500+155=28155。

15、在下圖中，平行四邊形?ABCD?的周長為?70?厘米，AE=8?厘米，AF=12?厘米，那么平行四邊形?ABCD?的面積是（ ? ? ? ? ?）平方厘米。

「答案解析」

很明顯，有：

所以，可得AB=14。

從而，平行四邊形的面積就是12x14=168平方厘米。

16、在下圖中，等邊三角形?ABC?的周長是?270?厘米，用折線把這個三角形分成面積相等的五個三角形，那么線段?AF?與?AG?的長度之和是（ ? ? ? ? ?）厘米。

「答案解析」

三角形邊長為270/3=90厘米。

根據(jù)三角形面積的比例關系，有：

同理：

同理：

同理：

所以，所求長度之和為：

。

17、一船從甲港順水而下到乙港，馬上又從乙港逆水行回甲港，共用了?10?小時。已知水速是每小時?8?千米，又知前?5?小時比后?5?小時多行?64?千米。那么，甲、乙兩港相距（ ? ?）千米。

「答案解析」

這個設未知數(shù)簡單些。

譬如設船速為v，逆水行舟的比5小時多了h小時，有如下等量關系：

很容易，解得h=1。

不然，直接想出小時還是有難度的。

這道題，前面的YMO有類似的題，可以去參考下。

因此，順水行舟花了5-1=4小時。

所以，又有如下等量關系：

從而解得v=40。

從而可得兩地相距4x(40+8)=192千米。

18、一堆積木由?16?塊棱長是?3?厘米的小正方體堆成。這個立體圖形的表面積（包括與底面） 是（ ?）平方厘米。

「答案解析」

考慮到堆疊需要支撐關系。

最下一層9塊，中間一層6塊，最上一層1塊。

最下一層的側面積是3x4+2x2=14個正方形。

中間一層的側面積是3x4=12個正方形。

最上一層的側面積是4個正方形。

從俯視圖來看，包括底面積，其面積是9x2=18個正方形。

因此，表面積是(14+12+4+18)x3x3=432平方厘米。

19、如圖，三角形?ABC?的面積為?180?平方厘米，D、E、F?分別在?AB、AC、BC?上，AD:DB=3:1，AE:CE=1:2，BF:FC=2:1，那么三角形?DEF?的面積是（ ?）平方厘米。

「答案解析」

根據(jù)三角形面積比例關系。

連接BE、DC、AF，可以得到：

所以：

平方厘米。

這樣稍微說得簡單一點，用到的知識就是：“等高三角形面積之比等于其底邊之比”。

20、如下圖，一個大正方形被分成四個長方形，它們的面積占大正方形面積的比值如圖所示。?如果陰影面積是?25?平方厘米。那么大正方形的邊長是（ ? ? ? ? ）厘米。

「答案解析」

左上長方形和右上長方形的面積之比為3:4，由于等高的關系，其底邊之比也是這么多。

設左上長方形的底邊為3t，右上長方形底邊為4t，正方形邊長為x，則有：

解得：

由于：

所以t=3

所以，大正方形的邊長就是7x3=21厘米。

21、在下圖中，正方形?ABCD?的面積是?64?平方分米，E、F?分別是?AB、AD?的中點，F(xiàn)G=3CG。陰影部分面積是（ ? ? ? ? ?）平方分米。

「答案解析」

設S=64。

連接BF和CE，根據(jù)面積比例關系，有：

所以，所求陰影面積為：

平方分米。

22、下圖是一塊長方形鐵皮，鐵皮的長是?33.12?分米。利用圖中的陰影部分，正好能做成一個圓柱形油桶(接頭處忽略不計)。那么這個油桶的容積是（ ）升。

「答案解析」

設圓的半徑為r，則有：

可以解得：

因此，油桶的體積就是：

立方分米。

也就是803.84升。

23、在一個圓柱形水桶里，將一段底面直徑是?20?厘米的圓鋼浸沒在水中，水面上升了?7.5?厘米。接著將圓鋼豎直地拉出水面一部分后，水面下降了?3.5?厘米。已知露出水面的圓鋼長是?7?厘米。那么圓鋼的體積是（ ? ?）立方厘米.（π取?3.14）

「答案解析」

設水桶半徑為r，圓鋼高度為h。

因此，有：

上下兩式相除，就有：

如果不列方程，我們可以借助于圖形，通過邏輯關系想明白上面這個等量關系。

所以，h=15。

所以，圓鋼的體積就是：

立方厘米。

24、兩父子在旅游時被困在一個無人島上，他們要做一個獨木小船逃出這個無人島，父親單獨做要 12 小時完成，兒子單獨做要 18 小時完成。如果按照父親、兒子、父親、兒子……的順序交替工作，每人工作 2 小時后交換，那么需要（ ?）小時能做好獨木小船。

「答案解析」

父子合作需要：

因此，兩人各自工作了6小時后，剩下未完成的部分是：

剛好輪到父親工作，此時他剛好能完全做完，需要的時間是：

因此，父子兩人總共耗費的時間就是：

。

25、甲、乙兩人同時從山腳開始爬山，到達山頂后就立即下山。兩人下山的速度都是各自上山速度的?2?倍。甲到達山頂時，乙距山頂還有?337?米，甲回到山腳時，乙剛好下到半山腰。那么山腳到山頂?shù)木嚯x是（ ）米。

「答案解析」

設距離是S，甲的速度是a，乙的速度是b。

當甲到了山頂時，有：

當乙到了山頂時，甲向山下走了：

當乙走到半山腰時，甲又走了：

因此，有：

所以：

代入最上面那個式子，有：

也就是：

從而可得S=2022米。

這方程解起來有點難度，其實我們早就可以拿甲乙的速度比來設未知數(shù)，這樣少了個未知數(shù)。

不用方程的話，邏輯上會比較復雜，但等量關系就簡單些。

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