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家長(zhǎng)是孩子最好的老師，

這是奧數(shù)君第1105天給出奧數(shù)題講解。

今天的題目是組合數(shù)學(xué)問(wèn)題，

改編自2006年華羅庚金杯賽試題，

原題是數(shù)軸還有正負(fù)，

我全部改為了自然數(shù)以適應(yīng)小學(xué)內(nèi)容，

本題詳細(xì)講解后小學(xué)5年級(jí)學(xué)生能聽(tīng)懂。

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題目（4星難度）：

從不大于2n的2n+1個(gè)自然數(shù)中，為了確保能選出2006個(gè)自然數(shù)，使其中任意2個(gè)數(shù)的差都不等于4，n的值最小是多少？

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輔導(dǎo)方法：

將題目寫給孩子，

讓他自行思考解答，

若20分鐘仍然沒(méi)有思路，

再由家長(zhǎng)進(jìn)行提示性講解。

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講解思路：

這道題屬于組合數(shù)學(xué)問(wèn)題，

有一種解法是任意8個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，

最多能選出4個(gè)數(shù)滿足條件，

然后據(jù)此推出答案，

這種做法雖然看著簡(jiǎn)捷但不夠嚴(yán)格，

因?yàn)槿我?2個(gè)數(shù)中又可以選出8個(gè)數(shù)，

為什么不用12要用8還需要詳細(xì)論證。

總的解題思路是：

分n是奇數(shù)和偶數(shù)的情況分別討論，

看每種情況最多能選出多少個(gè)數(shù)，

最后根據(jù)最大值等于2006得到答案。

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步驟1：

先思考第一個(gè)問(wèn)題，

如果n是偶數(shù)2k，

最多能選出多少個(gè)數(shù)滿足條件？

此時(shí)自然數(shù)為從0到4k,

按除以4的余數(shù)分為4個(gè)組，

第一組是0,4,8,…,4k,

中間最多能選出[(k+2)/2]個(gè)，

其中[a]表示不大于a的最大自然數(shù)；

第二組是1,5,9,…,4k-3,

中間最多能選出[(k+1)/2]個(gè)；

第三組是2,6,10,…,4k-2,

中間最多能選出[(k+1)/2]個(gè)；

第四組是3,7,11,…,4k-1,

中間最多能選出[(k+1)/2]個(gè)。

因此這時(shí)最多能選出的數(shù)是

3[(k+1)/2]+ [(k+2)/2]個(gè)。

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步驟2：

再思考第二個(gè)問(wèn)題，

如果n是奇數(shù)2k+1，

最多能選出多少個(gè)數(shù)滿足條件？

此時(shí)自然數(shù)為從0到4k+2,

按除以4的余數(shù)分為4個(gè)組，

第一組是0,4,8,…,4k,

中間最多能選出[(k+2)/2]個(gè);

第二組是1,5,9,…,4k+1,

中間最多能選出[(k+2)/2]個(gè)；

第三組是2,6,10,…,4k+2,

中間最多能選出[(k+2)/2]個(gè)；

第四組是3,7,11,…,4k-1,

中間最多能選出[(k+1)/2]個(gè)。

因此這時(shí)最多能選出的數(shù)是

[(k+1)/2]+3[(k+2)/2]個(gè)。

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步驟3：

綜合上述幾個(gè)問(wèn)題，

考慮原題的答案。

如果n是偶數(shù)且能取出2006個(gè)數(shù)，

根據(jù)步驟1的結(jié)論，

n最小是2006；

如果n是奇數(shù)且能取出2006個(gè)數(shù)，

根據(jù)步驟2的結(jié)論，

n最小是2005。

所以原題的答案是2005。

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思考題（3星難度）：

原題目改個(gè)數(shù)字。

從不大于2n的2n+1個(gè)自然數(shù)中，為了確保能選出2006個(gè)自然數(shù)，使其中任意2個(gè)數(shù)的差都不等于2，n的值最小是多少？

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