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題型一：整除

出題趨勢：純考整除特征不多，往往結合參數(shù)、余數(shù)考，要學會運用整除3大特征變形分析。

例1.（23年夏科技營T8）已知20xy23————是2023的倍數(shù),求x+y的值。

例2.（21年冬廣東營T4）已知73abc6————?能被?56 整除(b<4),且a除40,61,810的余數(shù)相同,求所有滿足要求的6位數(shù).

例3.（22年夏廣東營T11）請求出下列m的所有可能值，已知m是不大于2022的正整數(shù)，2022+m能整除2022m，求m值.??

例4.（22年夏廣西營T6）abcde——除以abde——為整數(shù),求abcde——的值.

例5.(23年冬文化營T12)計對于某些正整數(shù)，??不是最簡分數(shù)，求n的最小值.

題型二：連續(xù)數(shù)

出題趨勢：連續(xù)數(shù)，主要出題2個方向：一是最值問題分析；二是個數(shù)分析。

例6.(22年夏令營T7)?任意m個連續(xù)自然數(shù)中，若必有一個數(shù)的各位數(shù)字之和是 6 的倍數(shù)，求m的最小值。

例7.把?2024?寫成盡可能多非零連續(xù)自然數(shù)之和的形式，那么加數(shù)最多為多少個？?共有多少種不同的分拆方法？

例8.四個連續(xù)偶數(shù)乘積為?abcabc————,那么這四個偶數(shù)的和為多少？

例9.(21年冬廣州營T12)?若一個正整數(shù)不能寫成若干個連續(xù)正整數(shù)的和，那么這個數(shù)稱為“孤獨數(shù)”，如4就是一個“孤獨數(shù)”，但6不是.那么小于2021的正整數(shù)有多少個“孤獨數(shù)”.

例10.(23年冬文化營T16)?若干個連續(xù)正整數(shù)相加的和為?1000，這樣的正整數(shù)構成的數(shù)列有多少個？

題型三：求余數(shù)

出題趨勢：往往結合實際運用、數(shù)列、階乘、余數(shù)、參數(shù)考，出題概率大，要重點掌握。

例11.（23年夏科技營T6）今天是2023年2月25日，星期六，那么今天之后的第?（202325?+2）天是星期幾。

例12.(23年冬文化營T11)12+34+56+78+910+……+9798+99100+101102 的結果除以8的余數(shù)是多少。

例13.（23年冬科技營T12）求1!1?+2!2?+3!3?.......?+100!100 除以 2023 的余數(shù)多少.

例14.（21年T6）試計算：的結果的個位數(shù)字是多少.

例15.（22年冬令營T8）若正整數(shù)n，滿足6066 除以 n(n+1) 所得的余數(shù)（最小非負剩余數(shù)）為3n，求n的值。

例16.（21年T4）令?其中[x]表示不超過x的最大的整數(shù)(如?那么將a， b， c三個數(shù)按從小到大的順序用“<”連接的結果。

題型四：多個余數(shù)的處理

出題趨勢：高頻考點，結合實際、最值、多種情況考，要掌握物不只數(shù)、余數(shù)處理等常見考法。

例17.（23年夏文化營T2）小明參加少年宮音樂組，7月8日開學，每4天上一次課；小萍參加少年宮美術組，7月9日開學，每5天上一次課；小強參加少年宮棋藝組，7月10日開學，每6天上一次課。那么，他們?nèi)耸状卧谕惶於既ド倌陮m上課的日期是???月???日.

例18.（22年冬廣西營T8）一個正整數(shù)A，分別除以2、3、4、5、6都余1，除以7的余數(shù)為0，而除以8的余數(shù)卻是5，求A的最小值.

例19.（22年冬廣冬營T5）設?A = 1234567891011……9596979899（A 是由1，2，3，…，98，99 按順序抄寫一遍而得到的），記 A 分別被 15，9，8 除所得的余數(shù)（最小非負剩余數(shù)）分別為a，b，c,求?a+b+c的值.??????

例20.（22年冬廣西營T7）若兩個三位數(shù)2ab—和1ba——(a、b為兩個數(shù)碼)被7除所得的余數(shù)都等于6，求a+b的值.

例21.（22年冬廣東營T8）若正整數(shù)n，滿足6066除以n(n+1)所得的余數(shù)（最小非負剩余數(shù)）為3n，求n的值。

例22.（22年冬廣東營T2）有一個正整數(shù)x，甲將其除以?8，乙將其除以 9．若甲所得的商數(shù)和乙所得的余數(shù)之和等于13，則甲所得的余數(shù)是多少。

題型五：求公約數(shù)

出題趨勢：高頻考點，重點考察：數(shù)學抽象與推理能力和規(guī)律尋找。

例23.（23年夏文化營T4）正整數(shù)?m各個數(shù)位上數(shù)字之和與正整數(shù)n各個數(shù)位上數(shù)字之和的積是72。m和18的最小公倍數(shù)，n和18的最小公倍數(shù)都是720，那么 m，n和45這三個數(shù)的最大公因數(shù)是多少.

例24.（23年冬科技營T9）(3N+4,5N +2)表示這兩個數(shù)的最大公因數(shù)，那么這兩個數(shù)的最大公因數(shù)的可能值之和是多少。

例25.（22年冬令營T7）若?10 個互不相同的正整數(shù)的和是 20220，則這 10 個正整數(shù)的最大公約數(shù)的最大值是多少.

例26.（22年冬令營T3）三個數(shù)?4，16，28 都能被2整除，2是4，16，28的一個公因數(shù)，然而4是 4，16，28的最大公因數(shù)，把最大公因數(shù)記成4 = (4,16,28) ，一般地用d= (a，b，c)表示三個正整數(shù)（或非零整數(shù)）的最大公因數(shù)，現(xiàn)在設 a是一個任意的正整數(shù)，d= (a，a+2021, 2a+ 2022) ，d的值是多少.

例27.（22年冬令營T10）八位數(shù)20211202共有約數(shù)多少個．

例28.（19年冬令營T7）一個自然數(shù)有?18?個約數(shù)，且這?18?個約數(shù)中，一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)各有?6?個，那么這個自然數(shù)是幾？

題型六：完全平方數(shù)

出題趨勢：大題與小題均屬于高頻考點，難度較大，重點考察完全平方數(shù)的公式、尾數(shù)分析、數(shù)學推理與分類討論。

例29.（22年冬廣西營T4）已知兩個數(shù)的和為?8993，且這兩個數(shù)的積為20211202，那么，這兩個數(shù)差的平方是多少.

例30.（23年冬科技營T5）龍教授靠著墻圍建一個籬笆，圍成一個長方形，三條籬笆長度均為整數(shù)，且平方和為2022，則面積的最大值為多少.

例31.（22年夏令營T3）紅星小學圍棋興趣小組有4位小朋友和2位教練，4位小朋友依次相差2歲，2位教練相差2歲，6個人年齡的平方和是2796歲，6個人年齡之和是多少歲.

例32.（21年T7）A，n為自然數(shù)，滿足A= (n?7)(n+8)，且A為完全平方數(shù)，那么n有多少種值；n的最小值是多少，n的最大值是多少.

例33.（22年夏令營T18）設非零自然數(shù)a, b, c滿足方程a2+b2-c=2022.試求：

(1) a2+b2+c2的最小值；

(2)當a2+b2+c2取得最小值時a, b, c的值.

例34.（22年冬廣西營T15）2022是否能表示成三個質(zhì)數(shù)的平方和???

例35.（23年夏科技營T18）

(1)能把1~2024這2024個自然數(shù)分成兩組，使每組數(shù)的平方和相等嗎?請說明理由。

(2)能把1~2026這2026個自然數(shù)分成兩組，使每組數(shù)的平方和相等嗎?并請明理由。

題型七：階乘與數(shù)論結合

出題趨勢：重點考察階乘的變形與分析。

例36.（23年夏科技營T9）n!表示1~n這n個連續(xù)自然數(shù)之積.6!=1×2×3×4×5×6=720?,?20!=2432902008176640000,其中6!是10的倍數(shù),20!是104=10000的倍數(shù).已知2023!是10k的倍數(shù)，則k的最大值.

例37.（23年夏科技營T12）設1!×2!×3!×……×99!×100!表示 100個階乘之積,刪去其中一個階乘,使剩下的99個階乘之積為完全平方數(shù).那么刪去的是哪個數(shù)的階乘。

題型八：位值的化簡與分析

出題趨勢：高頻考點，基本考法：位值定理拆分化簡，然后分類討論。

例38.（23年夏科技營T4）4個四位數(shù)abbc——,bacb——,cbba——,abbc——的和為19998,a,b,c兩兩互質(zhì),則a+b+c的最小值為多少.

例39.（22年冬廣西營T13）有abc——和cba——?兩個三位數(shù)，每個字母代表不同的數(shù)字，它們的比是5：6，求abc——是多少.

例40.（22年冬令營T9）在正整數(shù)A的右端又多寫了2個數(shù)字，所得數(shù)恰好等于由1到A的所有正整數(shù)的和，求A的值.

例41.（23年夏文化營T11）十進制數(shù):?20232025的各個數(shù)位上數(shù)字之和記為A，A的各個數(shù)位上數(shù)字之和為B，B的各個數(shù)位上數(shù)字之和為C，求C的值。????

題型九：不定方程分析

出題趨勢：主要考查分類討論的嚴謹程度，主要結合現(xiàn)實場景考察不定方程的運用與分析。

例42.（22年夏廣西營T7）10a+11b=1011,求a加b最小值.

例43.（23年夏科技營T10）某平臺直播間銷售玩具飛機，規(guī)定：每位顧客最多可買3架，如果買1架需按原定價，買2架可降價8%，買3架可降價16%，現(xiàn)售出玩具飛機916架。出售給433位顧客，最后結算發(fā)現(xiàn)：平均每架玩具飛機售價恰好是原定價的88%，那么購買3架玩具飛機的顧客有多少人。

例44.（23年夏科技營T1）甲、乙二人代表學校參加市象棋比賽，規(guī)定：任何兩個選手都要賽一盤，勝者積2分，負者積0分，平局積1分。甲、乙二人共積 10分，其他人積分均相同。那么，參賽的選手最多有_人。

題型十：質(zhì)數(shù)與合數(shù)

出題趨勢:單獨考數(shù)字2和余數(shù)系的概率不大，結合計數(shù)考的概率還大一點。

例45.（19年冬令營T5）如果質(zhì)數(shù)p和q使得p2=2q2+1,那么(p2+q3)3的值為多少.

例46.（20年夏令營T6）已知p為100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，滿足p3+7p2為完全平方數(shù)，這樣的p有多少個.

例47.已知，，，，都是質(zhì)數(shù)，那么n為多少。

題型十一：高斯方程

出題趨勢：主要考察高斯取整的取值范圍和方程，難度較大

例48.（19年夏令營T7）設x是實數(shù)，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，記{x}=x-[x].

求?值.

例49.在中共出現(xiàn)多少個互不相同的數(shù)？

例50.（23年冬科技營T13）求[3x+1]=2x+的所有解的和。

例51.解方程其中x是整數(shù)。

例52.(23年冬文化營T13)計設[n]表示不超過n的最大整數(shù)，例如[4.8]=4?。已知：若0x，[x[x]]有a1?種結果，若0x，[x[x]]有a2?種結果；..........,若0x，[x[x]]有an?種結果，求的最小值是多少。

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