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第四屆華杯賽決賽一試試題

1．在100以內與77互質的所有奇數(shù)之和是多少？

2．圖1，圖2是兩個形狀、大小完全相同的大長方形，在每個大長方形內放入四個如圖3所示的小長方形，斜線區(qū)域是空下來的地方，已知大長方形的長比寬多6cm，問：圖1，圖2中畫斜線的區(qū)域的周長哪個大？大多少？

3．這是一個道路圖，A處有一大群孩子，這群孩子向東或向北走，在從A開始的每個路口，都有一半人向北走，另一半人向東走，如果先后有60個孩子到路口B，問：先后共有多少個孩子到路口C？

4．表示一個四位數(shù)，
表示一個三位數(shù)，A，B，C，D，E，F，G代表1至9的不同的數(shù)字。已知，問：乘積的最大與最小值差多少？

5．一組互不相同的自然數(shù)，其中最小的數(shù)是1，最大的數(shù)是25，除1之外，這組數(shù)中的任一個數(shù)或者等于這組數(shù)中某一個數(shù)的2倍，或者等于這組數(shù)中某兩個數(shù)之和，問：這組數(shù)之和最大值是多少？當這組數(shù)之和有最小值時，這組數(shù)都有哪些數(shù)？并說明和是最小值的理由。

6．一條大河有A、B兩個港口，水由A流向B，水流速度是4千米/小時。甲、乙兩船同時由A向B行駛，各自不停地在A、B之間往返航行，甲在靜水中的速度是28千米/小時，乙在靜水中速度是20千米/小時，已知兩船第二次迎面相遇地點與甲船第二次追上乙船（不算開始時甲、乙在A處的那一次）的地點相距40千米，求A、B兩港口的距離。

1.和為1959

2.圖1中畫斜線區(qū)域的周長比圖2中畫斜線區(qū)域的周長大2AB=12cm

3.走過C的人數(shù)為48（人）

4.最大值與最小值的差是525000

5.最大值是80，最小值是61，且1+2+3+5+10+15+25=61

6.240千米

1.【解】設A為100以內所有奇數(shù)之和，B為100以內不與77互質的全體奇數(shù)之和，X為100以內與77互質的所有奇數(shù)之和,則 X＝A－B

顯然A＝1＋3＋5＋7＋…＋99＝*50*100＝2500

又77＝7*11

100以內有約數(shù)7的奇數(shù)之和為7*(1＋3＋5＋7＋9＋11＋13)＝*7*14＝343

100以內有約數(shù)11的奇數(shù)之和為 11*(1＋3＋5＋7＋9)＝*5*10＝275

所以B＝343＋275－77＝541

于是，所求之和為 X＝2500－541＝1959．

2.【解】圖1中畫陰影區(qū)域的周長恰好等于大長方形的周長，圖2中畫陰影區(qū)域的周長顯然比大長方形的周長小，二者之差是2AB．

從圖2的豎直方向看，AB＝a－CD

再從圖2的水平方向看，大長方形的長是a＋2b，寬是2b＋CD。己知大長方形的長比寬多6cm．所以

(a＋2b)－(2b＋CD)＝a－CD＝6(cm)，從而AB＝6(cm)

因此，圖1中畫斜線區(qū)域的周長比圖2中畫斜線區(qū)域的周長大 2AB＝12cm。

3.【解】在A處的孩子數(shù)目看成1份，那么可順次標出各道口處走過的孩子的份數(shù)，

可見B處有，C處有。C處孩子總數(shù)是 60＋*＝48(人)

4.【解】

可以看出A＝1，因為E≠0，1，所以B最大為7，這時E＝2由于D、G都不能是O，1，所以D＋G＝13，C＋F＝8由于F≠0，1，2，所以C最大為5。從而三位數(shù)最大為759，這時＝34。最小為234(這時＝759最大)。

＝(1000＋)*(993－)，

＝1000*993－1000*＋993*一*

＝993000－7*-－*

于是在最大時，乘積最小，最小時，乘積最大，因此，所求的差是

　(993000－7*234－234*234)－(993000－7*759－759*759)

＝7*(759－234)＋759*759－234*234

＝7*(759－234)＋(759＋234)*(759－234)

＝7*(759－234)＋993*(759－234)

＝1000*（759－234）

＝525000。

5.【解】數(shù)組1，2，3，5，10，15，25的和是61，我們證明61就是最小值。

首先25是組中兩個數(shù)a、b的和，不妨設a＞b，而除去1外，組中最小的數(shù)必定是2(否則這最小的數(shù)不是兩個數(shù)的和，也不是1的兩倍)。第三個小的數(shù)是3或4，在前一種情況，第四個小的數(shù)可能是4、5、6；在后一種情況，第四個小的數(shù)可能是5、6、8

如果b＞8，那么除去　1，2，3，4…b…a…25(1)

及　1，2，3，5…b…a…25(2)

另外，其它情況各數(shù)的和均大于61，而由于b＞8，前一種情況，至少要增加一個大于4的數(shù)，各數(shù)的和仍大于61，后一種情況，各數(shù)的和同樣會大于61，除非b＝10，相應地a＝15，即上面所列舉的數(shù)為61的情況

如果b≤8，那么a≥17，為了將a表示成兩個數(shù)的和或一個數(shù)的兩倍，至少要有一個≥9的數(shù)，這樣各數(shù)的和≥1＋2＋3＋b＋9＋a＋25＝65＞61，因此只有數(shù)組1，2，3，5，10，15，25使和取得最小值61。

下面，討論和的最大值，如上所述，除去1外，組中最小的數(shù)必定是2，第三個小的數(shù)是3或4，在前一種情況，第四個小的數(shù)可能是4、5、6；在后一種情況，第四個小的數(shù)可能是5、6、8。要使和最大，次大的數(shù)可取24，從而數(shù)組1，2，4，8，16，24，25的和是80，應為和的最大值。

6.【解】設A、B兩個港口相距S千米，甲、乙兩船第二次迎面相遇時的位置與港口A相距x千米，甲船第二次追上乙船時的位置與港口A相距y千米。

第一步先求x，甲、乙第二次迎面相遇，甲順水行(S＋x)千米，逆水行S千米，乙順水行S千米，逆水行(S－x)千米，甲順水速度32(＝28＋4)千米／小時，逆水速度24(＝28－4)千米／小時；乙順水速度24(＝20＋4)千米／小時，逆水速度16(＝20－4)千米／小時，兩船所用時間相等，所以

32。24 24。16

即　S十x＝2(S－x)

解得x＝S

第二步求y．如果甲船在逆水時第二次追上乙，那么乙船順水行nS千米(n為自然數(shù))，逆水行(nS－y)千米，甲船順水行(nS＋2S)千米，逆水行(nS＋2S－y)千米，并且

即　

去分母(兩邊同乘96)得　(3n－14)S＝2y

由于左邊是S的整數(shù)倍，右邊y＜S，所以必有y＝

如果甲船在順水時第二次追上乙，那么乙船順水行(nS＋y)千米，逆水行nS千米，甲船順水行(nS＋2S＋y)千米，逆水行(nS＋2S)千米，并且

化簡得　y＝(14－3n)S(1)

由于14除以3余2，所以(14－3n)≥2S．而

≤

S，從而(1)不能成立

因此，y＝

第三步求S

由－＝40得

S＝40/(－)＝240(千米)

答：兩港相距240千米。

第四屆華杯賽決賽二試試題

1. 互為反序的兩個自然數(shù)的積是92565，求這兩個互為反序的自然數(shù)。(例如102和201；35和53，11和11，…稱為互為反序的數(shù)，但120和21不是互為反序的數(shù))

2．某工廠的一個生產小組，生產一批零件，當每個工人在自己原崗位工作時，9小時可完成這項生產任務。如果交換工作A和B的工作崗位，其它工人生產效率不變時，可提前一小時完成這項生產任務；如果交換工人C和D的工作崗位，其他工人生產效率不變時，也可以提前一小時完成這項生產任務。問：如果同時交換A與B，C與D的工作崗位，其他工人生產效率不變，可以提前幾分鐘完成這項生產任務？

3．某校學生中，沒有一個學生讀過學校圖書館的所有圖書，又知道圖書館內任何兩本書至少被一個同學都讀過，問：能不能找到兩個學生甲、乙和三本書A、B、C，甲讀過A、B，沒讀過C，乙讀過B、C，沒讀過A？說明判斷過程。

4．有6個棱長分別是3cm，4cm，5cm， 的相同的長方體，把它們的某些面染上紅色，使得有的長方體只有一個面是紅色的，有的長方體恰有兩個面是紅色的，有的長方體恰有三個面是紅色的，有的長方體 恰有四個面是紅色的，有的長方體恰有五個面是紅色的，還有一個長方體六個面都是紅色的，染色后把所有的長方體分割成棱長為1cm的小正方體，分割完畢后，恰有一面是紅色的小正方體最多有幾個？

5．小華玩某種游戲，每局可隨意玩若干次，每次得分是8，a（自然數(shù)），0這三個數(shù)中的一個，每局各次得分的總和叫做這一局的總積分，小華曾得到過這樣的總積分：103，104，105，106，107，108，109，110，又知道他不可能得到“83分”這個總積分。問：a是多少？

6．在正方體的8個頂點處分別標上1，2，3，4，5，6，7，8，然后再把每條棱兩端所標的兩個數(shù)之和寫在這條棱的中點，問各棱中點所寫的數(shù)是否可能恰有五種不同數(shù)值？各棱中點所寫的數(shù)是否可能恰有四種不同數(shù)值？如果可能，對照圖a在圖b的表中填上正確的數(shù)字；如果不可能，說明理由。

1.這兩個數(shù)是165和561

2.可提前108分鐘

3.可以找到滿足要求的兩個學生

4.最多可得到177個一面為紅色的小立方體

5.A=13

6.各棱中點處所寫的數(shù)恰有五種不同數(shù)值是可能的，填法不惟一，但不可能少于五種不同數(shù)值

1.【解】

92565＝3×3×5×11×11×17.

互為反序的兩個自然數(shù)中，若其中之一為3的倍數(shù)(或11的倍數(shù))，另一個也必為3的倍數(shù)(或11的倍數(shù)).又因乘積是五位數(shù)，所以這兩個數(shù)是三位數(shù)，我們有

92565＝(3×5×11)×(3×17×11)＝165×561

　于是,這兩個數(shù)為165和561

2.【解】把總任務分成72份，原來每小時完成＝8份，每份要＝7.5分鐘

　A與B交換后，每小時完成＝9份，比原來多干了1份，由于其他人工效不變，

　所以這一份就是A、B二人多干的。

同理，C與D交換后，他們二人每小時也要多干1份任務。同時更換后,A與B、C與D每小時都多干一份任務，所以全組工人每小時干了8＋1＋1＝10(份)任務，即每份任務只要＝6(分鐘)就能干完。因此每干1份任務，提前7.5－6＝1.5(分鐘)。72份任務一共提前請點擊此處輸入圖片描述

72×1.5

＝108(分鐘)。

3.【解】首先從讀書數(shù)最多的學生中找一人甲，由題設，甲至少有一本書C未讀過。

設B是甲讀過的書中的一本，根據(jù)題設，可找到學生乙，乙讀過B、C。

由于甲是讀書數(shù)最多的學生之一，乙讀書數(shù)不能超過甲的讀書數(shù)，而乙讀過C書，甲未讀過C書，所以甲一定讀過一本書A，乙沒讀過A書，否則乙就比甲至少多讀過一本書，這樣一來，甲讀過A、B，未讀過C；乙讀過B、C耒讀過A。因此可以找到滿足要求的兩個學生。

4.【解】一面染紅的長方體，顯然應將4*5的長方形染紅，這時產生20個一面紅的小正方體，個數(shù)最多

二面染紅的長方體，顯然應將兩個4*5的長方形染紅，這時產生40個一面紅的小正方體，個數(shù)最多三面染紅的長方體，應將4*5，4*5，4*3的面染紅，產生4*(5＋5＋3－4)＝36個一面紅的小正方體，其它方法得出的一面紅的正方體均少于36個。四面染紅的長方體，應將4*5，4*5，4*3，4*3的面染紅，產生4*(5＋5＋3＋3－2*4)＝32個一面紅的小正方體，其它方法得到的一面紅的小正方體均沒有這么多五面染缸的長方體，應只留一個3×5的面不染，這時產生(3－2)(5－2)＋(4－1)(5＋5＋3＋3－2*4)＝27個一面紅的小正方體，其它染法得到的一面紅的小正方體均少于27六面染紅的長方體，產生 2[(3－2)(5－2)＋(5－2)(4－2)＋(4－2)(3－2)]＝22 個一面紅的小正方體。于是最多得到 22＋27＋32＋36＋40＋20＝177 個一面紅的小正方體

5.【解】83＋8*3＝107，所以在得到總積分107時，得8分的局數(shù)必定小于3(否則83＝107－3*8可以得到)，即得8分的局數(shù)為0、1或2，從而107，107－1*8＝99，107－2*8＝91這三個數(shù)中必有一個是a的倍數(shù)。

如果107是a的倍數(shù)，那么a＝1或107，但a＝1時，可以得到總積分83；a＝107時，無法得到總積分103，所以這種情況不可能發(fā)生。

如果99是a的倍數(shù)，那么a＝1，3，9，11，33，99。

因為83＝9*3＋8*7＝11＋8*9，所以a不能是1，3，9，11(否則83可以得到)。

因為103＝99＋14＝33＋70＝2*33＋37，所以a＝99或33時，無法得到總分103。

因此這種情況也不可能發(fā)生。

如果91是a的倍數(shù)，那么a＝1，7，13，91，因為83＝7*5＋8*6，所以a

≠

7.1 103＝91＋12，所以a

≠

91。

因此a＝13，不難驗證a＝13符合要求。

6.【解】各棱中點處所寫的數(shù)恰有五種不同數(shù)值是可能的，如在A、B、…、H依次填1,5、3、7、8、4、6、2，則中點處恰有五個不同數(shù)值6、8、9、10、12。

不可能少于五種不同數(shù)值，理由如下：

以1所在頂點為端點的棱有三條，不妨設這三條棱的另一端點所填寫的數(shù)是a、b、c，滿足a＜b＜c，則這三條棱的中點處的數(shù)為1＋a，1＋b和1＋c，滿足1＋a＜1＋b＜1＋c。

以8所在頂點為端點的棱也有三條，不妨設這三條棱另一端點所填寫的數(shù)為x、y、2，滿足x＜y＜z，則這三條棱的中點處的數(shù)為8＋x，8＋y，8＋z，滿足8＋x＜8＋y＜8＋z。

又 c≤8，1＋c≤9；x≥1，8＋x≥9，

所以 1＋a<1＋b<1＋c≤8＋x＜8＋y＜8＋z

從而這六條棱中點的六個數(shù)不可能少于五種不同的值，因此在12條棱中的點處所寫的數(shù)不可能有少于五種不同的數(shù)值。

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