北京高中數(shù)學:李克正——怎樣學好數(shù)學?
法國數(shù)學家龐加萊曾經(jīng)提出一個問題:既然數(shù)學的證據(jù)建立于所有正常心智都能接受的邏輯規(guī)則之上,那么,為什么有人不理解數(shù)學呢?這是如何發(fā)生的呢?這個問題無疑牽涉到數(shù)學教育,以及數(shù)學和人類認知的關(guān)系等問題:數(shù)學是自然界的客觀規(guī)律,還是人類大腦純粹的主觀構(gòu)造?我們要怎樣才能學好數(shù)學?
前不久,首都師范大學特聘教授李克正在一場名為“如何學數(shù)學”的專題講座上探討了這一問題。本文根據(jù)講座內(nèi)容整理而成,希望對您會有所啟發(fā)。
撰文 | 李克正(首都師范大學特聘教授)
這個題目不好講,因為每個人應該根據(jù)自己的情況找到最適合自己的學習方法,即使只是要給某一個同學提建議,也得先對這個同學有充分的了解。
但反過來看,常見很多人對于數(shù)學采取的不適當學習方法,倒是有很多共同之處。簡言之,正確的道路各不相同,錯誤的道路卻常雷同。我們就從這個角度開始討論。
0 不要相信“教育學家”的話
很多人以為數(shù)學教育屬于教育學的范圍,其實不對。數(shù)學教育有很多實質(zhì)上的特殊性,在教育學的教科書中完全沒有涉及。例如有教育家說學習知識的一般方法是“理解+記憶”,這對于學習數(shù)學就不適用。
很多中學招聘數(shù)學教師,寧可要數(shù)學專業(yè)出身但沒學過教育學的,也不愿要教育學出身但數(shù)學基礎薄弱的。不久前我看到美國一個數(shù)學教育領域的教授說,他的最差的學生都是教育學出身。
近來中國和美國的很多數(shù)學教育方面的專家在討論教育學家對于數(shù)學教育的傷害,但這離開本報告的題目較遠,所以我們僅僅提醒大家不要被某些“教育學家”誤導。應該針對數(shù)學學習的特殊性來討論。
那么,與其他學科相比,數(shù)學學習有些什么特殊性呢?
(1)數(shù)學根本上來自自然界,因此學習數(shù)學要擁抱自然,特別是要避免脫離自然。
(2) 學習數(shù)學的最強動力是興趣,因此培養(yǎng)興趣對于學好數(shù)學至關(guān)重要。
(3) 學習數(shù)學需要實驗,實驗的質(zhì)量對于數(shù)學學習的質(zhì)量有重要影響。
(4)數(shù)學的內(nèi)容極為廣闊,因此學習的內(nèi)容 (包括教科書)的選擇極為重要。
(5)數(shù)學競賽對于激勵數(shù)學興趣和提高數(shù)學水平有重要的作用,但要避免一些誤區(qū)。
(6)數(shù)學是科學,所以學習數(shù)學應該用學習科學的方法,而不是用例如學習技術(shù)或法規(guī)的方法。
(7)學習數(shù)學的過程不僅有知識的積累,而且有理念的提升,為了培養(yǎng)數(shù)學素質(zhì)尤其需要因材施教。
我們下面針對每個特點講得具體些,能否講完并不要緊,只希望同學們能看到一些要點。因此,如果有問題請隨時提出。
1學習數(shù)學要擁抱自然
首先問大家一個問題:
數(shù)學是自然界的客觀規(guī)律,還是人腦子中的純粹主觀的東西?
不要求大家馬上回答,因為這個問題即使在成年人中,甚至在科學家中也一直有著激烈的爭論,是個根本性的哲學問題。
徹底的唯物主義者認為,數(shù)學根本上來自自然界,因此學習數(shù)學要擁抱自然,特別是要避免脫離自然。一些數(shù)學家(如小平邦彥)采用“數(shù)覺”這個術(shù)語,即對于數(shù)學對象的物理直觀。
然而一種非常普遍的觀點是:數(shù)學是“理論科學”,只是動動腦子的事,“數(shù)學對很多人來說是枯燥的、深奧的、抽象的”(參看參考文獻 [3]),甚至是乏味的、無用的、無聊的。更有些極端的看法,否認數(shù)學是科學,否認數(shù)學所研究的是自然規(guī)律,認為自然數(shù)純粹是人腦子里的東西,或者是“存在于天上的純粹理性”,或者純粹是文字和符號的游戲,等等。抱著這樣的態(tài)度學習數(shù)學,難免脫離實際,甚至完全沒有“數(shù)覺”。
學習數(shù)學不是只要認識數(shù)字,會寫會算就行。首先要理解自然數(shù)的“自然”意義,沒有“數(shù)覺”卻只管練習記數(shù)、計算等,是學不懂數(shù)學的。
小學生做很多數(shù)學應用題,中學生卻很少做甚至不做,其實中學生更應該做,這是回歸自然的一個重要途徑。什么樣的習題是“自然”的呢?這不太容易說清楚,但“自然”的反義詞是“人工”,那些在自然界中不存在的現(xiàn)象,人為編造的條件,牽強附會的假設,與數(shù)學無關(guān)的語言障礙或陷阱等都屬于這一類。例如小學教科書上有個題目:
在一個倉庫里有很多葡萄,經(jīng)過一段時間由于水分蒸發(fā)重量變輕了。重量少了多少呢?答案是 50% 。
這樣不“自然”的習題很常見。
華羅庚先生當年做數(shù)學普及報告,經(jīng)常舉日常生活中應用數(shù)學的生動例子。如
蜂巢為什么最省材料?
什么樣的茶葉桶蓋掉不下去?
街口的紅綠燈應該怎樣設計?
蘇聯(lián)導彈試驗場的奇怪形狀說明了什么?
這些報告都給了聽眾們非常深刻的印象,一個重要的原因就是其中有很多自然的例子。
還有一種常見的論調(diào),說生活中只需要用到小學的數(shù)學,更深的數(shù)學沒用。實際上現(xiàn)在大多數(shù)人學的數(shù)學都是很成熟的數(shù)學,只要學通了都很有用。為了讓同學們自己有所體會,這里留一個小學水平的習題。
習題:
某商店舉辦返券銷售活動,小萌和媽媽聽說后一起去逛商店,希望能“淘”到幾件平時舍不得買的東西。到店里看到這樣的規(guī)則:
購買服裝類每付現(xiàn)金 100 元返回禮券 80 元,鞋類每付 100 元返券 60 元,用具類每付 100 元返券 40 元,所付現(xiàn)金不足 100 元的部分不返券,所返的券可在返券銷售活動期間在店里買任何商品。
媽媽看中一套衣服,標價為 498 元;小萌看中一雙運動鞋,價格為 320 元;媽媽還想買一套炊具,價格為 245 元。怎樣買才能盡可能省錢呢?
中學生在數(shù)學的應用方面應該比小學生有更高的要求,不僅要會做應用題,而且要能夠?qū)嶋H工作中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題并予以解決,就是說要培養(yǎng)數(shù)學建模的能力。
陳省身先生說過:“數(shù)學是一切科學的基礎,數(shù)學的訓練普遍的有用”。但對于數(shù)學有嚴重偏見的人(包括缺乏數(shù)覺的人)是不可能理解這兩句話的。
2 培養(yǎng)數(shù)學興趣
數(shù)學揭示自然界的規(guī)律,而人本來就屬于自然界,了解自然界的欲望是人類的本能,因此對數(shù)學的興趣是可以自然地形成的。但是,如果學的或做的是不自然的數(shù)學,則無助于培養(yǎng)數(shù)學興趣,甚至會傷害數(shù)學興趣。
學習數(shù)學的最強動力是興趣,比其他動力如功利、榮譽甚至強迫等的動力都要大。遺憾的是,我遇到過一些同學本來很喜歡數(shù)學,后來卻由于不當?shù)臄?shù)學教育變得不喜歡甚至恨數(shù)學。
陳省身先生給小學生的一個題字是“數(shù)學好玩”。不知在座的有多少同學覺得數(shù)學好玩。
常州懷德苑小學的大多數(shù)同學都很喜歡數(shù)學,他們在校園里到處都會受到數(shù)學的熏陶(見下圖)。他們上數(shù)學課也常是在玩中學。該校還寫了一本書《玩數(shù)學》(參看參考文獻 [9]),系統(tǒng)地說明了在這方面的理念、成績和規(guī)劃。
校園里的“數(shù)學”。
3 數(shù)學實驗
作為科學,數(shù)學產(chǎn)生于實驗,在這一點上與物理、化學等都是一致的。離開自然界,數(shù)學根本不可能存在——不可能產(chǎn)生。最早的數(shù)學研究對象—— 自然數(shù)的客觀存在,是一個物理事實,人類只是“發(fā)現(xiàn)”而不是“發(fā)明”了自然數(shù)。
小孩子扳著手指數(shù)數(shù),就是一個數(shù)學實驗(當然是很簡陋的)。小時候玩的一些玩具中也有簡單的數(shù)學實驗。作為計算工具已經(jīng)淘汰的算盤,也是一種數(shù)學實驗設備,它的數(shù)學教育功能尚未完全過時。在初中數(shù)學教育中,原來也有必備的通用實驗工具—— 圓規(guī)和直尺。
一個班的學生中一般總有幾個學得不好的,很多人將此簡單地歸因于這些學生“笨”或者“懶”,還有歸因于“智商”的(而且有些人將智商說成是先天因素)。另一方面,經(jīng)常也總有幾個學生學得很好,這也使一些人認為他們“聰明”“勤奮”或“智商高”,由此往往會得出一個錯誤的判斷,就是在數(shù)學教學中不需要實驗,沒有實驗他們不是也學得很好嗎?其實不然。少數(shù)學生不需要某個實驗,可能是因為他們以前做過有同樣效果的實驗,但其他學生仍是需要的。
近年來數(shù)學實驗在數(shù)學教育中日益受到重視,只是實驗手段還有待提高。例如,
為讓學生理解全等的概念,現(xiàn)在最好的中學數(shù)學教師所采用的實驗仍是用兩張透明膠片滑移使圖形重合,還沒有比這更好的手段;
為了理解長方體,可以用疊紙盒的方法做實驗,這實驗用電腦應是可以虛擬化的(在電腦顯示屏上看到),但至今還沒有人做出相應的程序,而做這樣一個程序,工程不小、成本也不低;
為了理解用平面切割圓錐得到圓錐曲線,一個簡單而粗糙的實驗是用手電筒照墻面,現(xiàn)在還沒有比這更方便更精確的手段,等等。
現(xiàn)在很多小學建立了數(shù)學實驗室,例如懷德苑小學(見下圖)。
數(shù)學實驗室
除了這些實驗設備外,一個較為先進的數(shù)學實驗手段是計算機虛擬實驗(參看參考文獻 [17])。張景中先生建立的“超級畫板”可以作為一個實驗平臺,我們與張先生合作建立了一些虛擬實驗,包括運動、角、勾股定理(割補法)、數(shù)軸、牛頓-萊布尼茲公式等。
在更深的數(shù)學中,實驗同樣有助于學習。例如下面的實驗是為了理解群論的(hexa1,2,6)。
4 學習內(nèi)容的選擇
一個中小學老師能把給定的數(shù)學教程教好,就是優(yōu)秀教師了。至于數(shù)學教程中應該有哪些內(nèi)容,這不是老師應該管的,而且一般是管不了的。
“教什么”的問題,在其他學科中一般不很尖銳,至少有一部分內(nèi)容是近年來的新進展。例如生命科學,現(xiàn)在都要講基因,而在六十年前完全沒有,因為那時基因還沒發(fā)現(xiàn)。
但數(shù)學卻不然,一般人學的最新也是幾百年前的數(shù)學,即使兩千多年前歐幾里德寫的《幾何原本》,現(xiàn)在也仍然可用。在數(shù)千年甚至更長的歷史時期中,數(shù)學有豐富的積累,其中有很多是永遠不會過時的。這么多的內(nèi)容,任何人都不可能讀完。那么一般人應該學哪些內(nèi)容,就是一個非常不平凡的問題了。
數(shù)學的內(nèi)容極為廣闊,因此學習的內(nèi)容(包括教科書)的選擇極為重要。這就是需要高水平的數(shù)學家來為中學生寫書的原因。數(shù)學大師傅種孫、吳文俊等都翻譯過國外的中學優(yōu)秀教科書。
現(xiàn)在經(jīng)常聽到的一個口號是“減負”,然而很多人覺得越減越重。其實看看統(tǒng)編教科書確實內(nèi)容的量沒減小,在減掉一些內(nèi)容的同時又悄悄加入了另一些內(nèi)容。遺憾的是,減掉的多為精華,增加的卻全是垃圾。這也是統(tǒng)編教科書越來越令人覺得無聊的一個原因。當然,內(nèi)容的選擇只是一個方面,寫作質(zhì)量也很重要?,F(xiàn)在常見統(tǒng)編教科書中出現(xiàn)數(shù)學錯誤,這當然要誤人子弟的。
1960 年代,在華羅庚先生的倡導下,很多數(shù)學家為中學生寫課外讀物,出版了一套《數(shù)學小叢書》,有十余本。華羅庚先生身先士卒寫了兩本:第 1 號《從楊輝三角談起》和第 3 號《從祖沖之的圓周率談起》,后來又寫了《從孫子的“神奇妙算”談起》,此外還寫了一些別的小冊子,其中《數(shù)學歸納法》和《談談與蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學問題》后來也收入《數(shù)學小叢書》中。這些書的質(zhì)量都是非常高的,是真正的精品,即使在今天也仍是極好的中學生讀物。遺憾的是現(xiàn)在讀這些書的人很少,連中學教師都很少有讀過的。
如果一個同學已經(jīng)能夠自己獨立地學習數(shù)學,那么對于所讀的書要有所選擇,挑選自己覺得好的書。當然也可能選得不對,我自己就讀過一本看上去很有意思的書,但讀完后大失所望。我曾經(jīng)對一個同學說:“你選讀的那本書質(zhì)量很差,不值得讀。”那同學反問道:“我不讀怎么知道它很差呢?”你們覺得這個同學的話有道理嗎?我覺得很有道理,因為聽別人的評價不能代替自己的評價,自己判斷錯, 吃了虧,得到教訓,是成長的不可缺少的環(huán)節(jié)。
5 數(shù)學競賽
數(shù)學競賽是一種非常好的教育方法,它能激勵學生的數(shù)學興趣,發(fā)現(xiàn)人才,提高學生的素質(zhì),開闊學生的眼界。此外,它能建立數(shù)學界與青少年溝通的橋梁,吸引數(shù)學家對青少年人才培養(yǎng)的投入,吸引學術(shù)界和社會對于數(shù)學發(fā)展的關(guān)注等。
數(shù)學競賽是一種學術(shù)性很強的競賽,需要依靠數(shù)學家來組辦,尤其是命題。我參加過多種中、小學數(shù)學競賽的命題,深知這是難度很高而且非常辛苦的工作。
“華羅庚金杯”少年數(shù)學邀請賽的命題標準尤其高。為了一個題目,教授們要開討論班討論多次,而且絕大多數(shù)題目都不能通過。簡言之,數(shù)學競賽題的內(nèi)容既要基于學生的課程內(nèi)容,又不能落入俗套;既要有難度,又要簡單;既考驗智慧,又啟發(fā)新的智慧;既不能超出學生知識基礎的范圍,又要有高的深刻的觀點。
由此可以體會到當年華羅庚先生和其他數(shù)學家做競賽命題這件事有多辛苦。越是大的數(shù)學競賽越是需要數(shù)學家。反之,如果在舉辦數(shù)學競賽時排斥數(shù)學家,就是從根本上造假。
很多人跟我談“奧數(shù)”我都拒絕回應。什么是“奧數(shù)”?其本來的意思是國際數(shù)學奧林匹克競賽(IMO),但現(xiàn)在很多人所說的“奧數(shù)”與 IMO 毫無關(guān)系,只是打著“奧數(shù)”的牌子開培訓班和搞競賽。其中有些講究質(zhì)量,但大多數(shù)只是將以往的數(shù)學競賽題用作培訓題或稍加改動用于競賽。我就經(jīng)??吹揭酝娜A杯賽題被反復使用,甚至盜版。
我國自 1950 年代華羅庚先生倡導數(shù)學競賽以來,數(shù)學競賽在推動科學技術(shù)發(fā)展和人才培養(yǎng)等方面作出了不可磨滅的貢獻。許多數(shù)學家參與數(shù)學競賽,關(guān)注中學教育,這些對我國的發(fā)展是非常寶貴的。
在座的同學們有很多參加過數(shù)學競賽。你們可以回顧一下,在競賽中做過的一個題目對你是不是新鮮的?是不是自然的?是不是有趣的?做了是不是有長進?做了以后是不是又曾用到?
6 用學習科學的方法
數(shù)學告訴我們科學的真理,它們深刻地揭露自然界的秘密,在這方面它與物理、化學、生命科學等是一樣的。我們來看幾個例子。
例 1. 勾股定理。直角三角形的兩直角邊長 a,b 與斜邊長 c滿足a2+b2=c2。
例 2. 圓的面積。直徑為 r 的圓的面積為 πr2。
例 3. 加法定理。
例 4. 代數(shù)基本定理。任何非常數(shù)復系數(shù)多項式必有一個復零點。
例 5. “費爾馬大定理”。設 n 為大于 2 的整數(shù),則方程 xn+yn=zn 沒有非平凡的整數(shù)解。
這些真理的表述都非常簡單,使得人們很容易理解和應用。但是它們都不是簡單的常識或直觀上可以看到的事實。
常常很多人使用一個數(shù)學定理但不知道或不懂得它的證明,這沒有危險,因為數(shù)學家保證了定理的可靠性。但能使用并不等于掌握。這可能有潛在的問題。
數(shù)學中的深刻定理都是經(jīng)過很多人的長期艱苦探索才發(fā)現(xiàn)和證明的,而基礎數(shù)學研究與理論物理類似,都屬于理論研究的范圍。
由此可見,數(shù)學是科學,所以學習數(shù)學應該用學習科學的方法,就是說要理解科學原理,直至完全懂得;而不是用例如學習技術(shù)或法規(guī)的方法。
數(shù)學的教育,絕不僅僅是一種知識的傳播,而更是包含能力的培養(yǎng)和理念的建立。
就以識數(shù)而言,豈是認識 1, 2, 3, 4, 5, ... 那樣簡單。首先,需要通過上面所說的“擁抱自然”,物理地理解數(shù)字符號的意義,這種理解還要通過以后所做的應用題進一步深化。進而要了解數(shù)的簡單性質(zhì),從而對于自然數(shù)數(shù)有更深入的理解,并且從中培養(yǎng)計算和應用等方面的能力。直到完成“我什么數(shù)都會數(shù)了”這一飛躍的時候,才算完成了識數(shù)的過程。
到這時候,一個人已經(jīng)深刻地理解“數(shù)”是自然規(guī)律,對此已有堅定的信念,宇宙觀已有悄然的改變,對于所遇到的問題會自覺地從“數(shù)”的角度考慮,而且明顯地比不識數(shù)時更“聰明”了,這種“聰明”完全是后天的。
認識自然數(shù)的過程歸根結(jié)底是孩子自己完成的。如果孩子沒有興趣,即沒有認識自然數(shù)的欲望,無論如何灌輸也不能使他識數(shù)。
因此,“理解+記憶”的模式,對于數(shù)學教育是不適用的。
遺憾的是,很多數(shù)學教育幾乎就是用技術(shù)教育或法規(guī)教育的方法,甚至將數(shù)學當作教條。這樣的教育盡管可以使一個孩子學完所有的教程,如記數(shù)規(guī)定、運算法則、多種應用題型等等,而且通過達標考試,卻仍然沒有使他“學懂”數(shù)學。
不時地會遇到一個家長興奮地講自己的孩子的數(shù)學才能:很小就能認識數(shù)字,4 歲就會做 1 萬以內(nèi)的加減法,背九九表,參加什么速算比賽獲獎,等等。然而,這很可能傷害了甚至毀掉了孩子學好數(shù)學的前途。
難免有人會反問:為什么一定要“學懂”數(shù)學呢?只要“會做”就可以通過考試了,達標了,將來也就可以工作了。然而,現(xiàn)在人工智能發(fā)展得很快,不管多聰明的人,與人工智能比速算,做選擇題,甚至做套路題,都將完全不是對手。有很多人由此斷言人將被電腦淘汰。然而,懂得數(shù)學的人不會被淘汰,因為人工智能無論做得多快多好,仍是只會“做”而不“懂”數(shù)學。
怎樣才叫“懂”數(shù)學呢?這里舉一個例子。
我在中科院和首都師大經(jīng)常主持研究生面試,參加面試的都是筆試達標的。我們從不問難題,一般是問你有什么學得好的(有自信的),我們就從其中問個簡單問題看看考生是否學懂了。例如考生說群論學得好,就讓他舉個群的例子。這樣的“送分”題卻經(jīng)常有人答不上來。
哪怕只是初步學懂,也不至于連一個簡單的例子都舉不出來呀。
同學們可以通過問自己這類簡單的問題,來反思自己是否真的學懂了。
7 數(shù)學素質(zhì)
在現(xiàn)代社會中,一個人一生中接受數(shù)學教育的時間是相當長的。
實際上,幼兒一般在很小的時候就開始接受數(shù)學教育。按我國現(xiàn)行的義務教育法,每個少年至少要上完初中,而接受數(shù)學教育也就要直到上完初中;很多地區(qū)已開始普及高中教育;而對于很多方面工作的需要,即使高中數(shù)學達標都還不夠,至少需要用到微積分。可以預料,我國公民一生中接受數(shù)學教育的平均時間,還會進一步增加。沒有任何一個其他學科的教育時間有數(shù)學這樣長。
雖然一個人需要學的數(shù)學這么多而且越來越難,但即使是一個小學生也可能有很好是數(shù)學素質(zhì),而中學生中有很多可以達到相當高的數(shù)學素質(zhì)。一個人的數(shù)學素質(zhì)的標志不是數(shù)學知識的多少,而是數(shù)學理念的高度。
小學階段培養(yǎng)數(shù)學素質(zhì)的一個要點是可靠性。在做數(shù)學題的過程中,要求越來越嚴格,這是培養(yǎng)科學嚴謹性的第一步。如果一個小學生在解題過程中的錯誤都能夠自己發(fā)現(xiàn)和改正,就是解題非常可靠,在這一點上數(shù)學素質(zhì)完全達標了。
中學階段對于數(shù)學素質(zhì)有更多的要求,包括代數(shù)運算能力、空間想象力、邏輯性等,更高的要求是獨立探索解決問題的能力。
數(shù)學素質(zhì)的提升主要是通過理念的提升來實現(xiàn)的。理念的提升,遠比技巧的提高重要。在理念的提升過程中,概念越來越抽象。抽象概念常常是具體概念的推廣或提升。在教學中一個常見的誤區(qū)是,先講抽象概念,再應用到具體情況,這樣符合邏輯次序,但對于學習可能并不合適,因為人的認識過程是從特殊到一般,從低到高,經(jīng)常是從具體到抽象,就是說抽象的概念需要通過大量具體的例子才能理解。
最后再指出一點:數(shù)學的教育特別需要“因材施教”,對于同一個問題,不同的人很可能需要大不相同的學習過程。例如很多數(shù)學習題是沒有“標準答案”的,特別是證明題,在好的情況下甚至可能沒有兩個學生的答案完全相同,需要教師分別讀懂和判斷。就這一方面看,數(shù)學教育是很不容易也很辛苦的。
參考文獻
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3 華羅庚:從祖沖之的圓周率談起
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5 史濟懷:平均
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7 姜伯駒:一筆畫和郵遞路線問題
8 龔昇:從劉徽割圓談起
9 范會國:幾種類型的極值問題
10 華羅庚:從孫子的“神奇妙算”談起
11 蔡宗熹:等周問題
12 江澤涵:多面形的歐拉定理和閉曲面的拓撲分類
13 常庚哲、伍潤生:復數(shù)與幾何
14 柯召、孫琦:單位分數(shù)
15 華羅庚:數(shù)學歸納法
16 華羅庚:談談與蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學問題
17 虞言林、虞琪:祖沖之算π之謎
18 馮克勤:費馬猜想
[13] 咸道:致家長
[14] 嚴士健主編:《面向 21 世紀的中國數(shù)學教育》. 江蘇教育出版社(1994)
[15] 尹裕:尋回美好的中學時代. 數(shù)學通報 2006 年第 1 期
[16] 尹裕:數(shù)學啟蒙教育之我見(2013)
[17] 張景中、王鵬遠:《小學數(shù)學實驗》
[18] 中國少年報社編:《華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽專輯》. 海燕出版社(1991)
作者簡介
李克正
代數(shù)幾何學家,首都師范大學特聘教授。曾任中科院研究生院數(shù)學系主任,中科院數(shù)學委員會委員,中科院重要方向項目首席科學家,《 中學生數(shù)學》雜志主編,《小學生數(shù)學報》等報刊編委,北京市高考命題委員。
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