前面幾天和同學(xué)們介紹了平面幾何的幾個(gè)常見(jiàn)模型，

在平時(shí)平面幾何問(wèn)題的解題當(dāng)中都用的非常多，非常實(shí)用，

熟悉之后能夠大大提高我們的解題效率。同時(shí)，在定理的證明

過(guò)程中我相信也能夠大大提高同學(xué)們的邏輯推理能力，

這是非常重要的數(shù)學(xué)能力之一。

今天開(kāi)始，要向同學(xué)們介紹的內(nèi)容依然和三角形有關(guān)——有關(guān)

整邊三角形的幾個(gè)重要結(jié)論

首先，要介紹什么是整邊三角形？

顧名思義，整邊三角形就是邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度為整數(shù)的三角形

在我們現(xiàn)階段做題當(dāng)中遇到的三角形幾乎都是整邊三角形

了解了整邊三角形之后，我們就要開(kāi)始今天的正課內(nèi)容了

今天向大家介紹和整邊三角形有關(guān)的第一個(gè)重要結(jié)論

結(jié)論1：最大邊為n的整邊三角形個(gè)數(shù)為：

下面我們?cè)賮?lái)證明該結(jié)論的正確性：

證明：最大邊的長(zhǎng)度為n，那么我們不妨設(shè)另外兩條邊長(zhǎng)為x，y

      且 x <= y <= n.

      得出：x+y > n （不然無(wú)法構(gòu)成三角形）

            n/2 < y <= n （x同理）

      當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，假設(shè)n=2m-1

      則x=m，y=m（一個(gè)三角形）

        x=m+1，y=m-1，m，m+1（三個(gè)三角形）

        x=m+2，y=m-2，......，m+2（五個(gè)三角形）

        x=2m-1，y=1，........，2m-1（2m-1個(gè)三角形）

       所以三角形總和=(1+3+5+.....+2m-1)=m^2（等差數(shù)列求和，首項(xiàng)為1，公差為2）

       而m=（n+1）/2，將m=（n+1）/2代入m^2，即可證明當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)結(jié)論1成立。

       當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，也能得到上述結(jié)論成立嗎？自己證明一下

       提示：方法與上述類(lèi)似。

             上節(jié)課跟大家介紹了整邊三角形的重要結(jié)論1，

相信同學(xué)們通過(guò)自己的練習(xí)對(duì)該結(jié)論已經(jīng)掌握

的比較好了，上節(jié)課留的證明問(wèn)題，根據(jù)提示，

應(yīng)該很容易能夠完成，這里就不再重復(fù)了。

這節(jié)課我們繼續(xù)介紹整邊三角形的重要結(jié)論，

結(jié)論2：最大邊為n，且三邊的邊長(zhǎng)互不相等的整邊三角形個(gè)數(shù)為：

該結(jié)論的證明步驟與上節(jié)課類(lèi)似，這里也不再過(guò)多闡述，

同學(xué)們可以自己在本子上證明。

結(jié)論3：已知整邊三角形的周長(zhǎng)為n，則這樣的整邊三角形個(gè)數(shù)有：

同樣的，下面將為大家證明該結(jié)論的正確性步驟如下：

證明：當(dāng) n=2m 時(shí)，設(shè)整邊三角形的三條邊長(zhǎng)分別為 a、b、c

其中，a >=b >= c，a+b+c=2m（三角形周長(zhǎng)等于三條邊長(zhǎng)和）

b+c > a，則得出：2m/3 <= a <= m-1

(2m-a)/2 <= b <= a, 2<= c <=b

運(yùn)用模6，將m分為：6k，6k-1，......，6k-5，六類(lèi)。

當(dāng)m=6k時(shí)，a=4k，b=4k，c=4k（一個(gè)整邊三角形）

          a=4k+1，b=4k，c=4k-1

          a=4k+1，b=4k+1，c=4k-2（兩個(gè)整邊三角形）

          當(dāng)a=6k-1時(shí)，b的取值為3k+1到6k-1，

          c的取值為2到3k（6k-3個(gè)整邊三角形）

          因此整邊三角形總和為：1+2+......+6k-3=3k^2

          進(jìn)而得出整邊三角形總和為：(m^2+3)/12

          其他五類(lèi)及n=2m-1的證明方法類(lèi)似。自己可在本子上進(jìn)行證明

          根據(jù)結(jié)論3，進(jìn)一步可得到結(jié)論4

          結(jié)論4：周長(zhǎng)為n，且三邊互不相等的整邊三角形個(gè)數(shù)為：

證明步驟同上。