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模塊：組合問題

難度：四星題

解題適用年級：四年級以上

來源：2020迎春杯大師賽六年級一試壓軸

題目：如圖，12個圓圈排在8條直線上，將12個連續(xù)的自然數(shù)分別填在12個圓圈中，再求出每條直線上所有圓圈所填數(shù)的和．

（1）試說明：不存在一種填法使這8個和都相等．

（2）是否存在一種填法，使得這8個和恰有2種不同取值？

       如果可以，請給出一種填法，如果不可以，請說明理由．

請先自行思考解答。思考時間：20分鐘。

如果你是家長。也可以把題目抄寫給小朋友。讓他自行思考。不要著急看后面的解答。

◆  ◆  ◆

思考1：為方便表達，先將圖中的12個圓圈標(biāo)上字母。這是數(shù)陣圖相關(guān)的題目，8條直線上的和是相等的（一般稱之為幻和）。

第1種常見的思路是把所有的幻和都加一次看一下，每一個位置上的數(shù)算了幾次。利用所有數(shù)都會出現(xiàn)，那么所有數(shù)的和與之對比，可能會有幾個位置上的數(shù)有限制。但是8個幻和都加時，B、C算了4次，A、H、I算了3次，其它位置算了2次，總和減所有數(shù)2次，也會出現(xiàn)5個位置相關(guān)的限制，不方便討論。

第2種就是選取部分的幻和和討論，這里就要有一定的水平了。這一題能說明矛盾就行，那選取哪幾條直線來討論呢？

結(jié)合圖形的對稱性和特殊位置試試看吧

步驟1：

選取過B點的上面三條和過C點的上面三條。

①A+D+E+B,F+H+K+B,G+L+I+B

②A+F+G+C,D+H+L+C,E+K+I+C

這兩組的總和都是3個幻和，其中A,D,E,F,H,K,G,L,I都算了一次，所以B=C,與題意矛盾。

思考2：這種兩問的構(gòu)造與論證的題目一般是一個可構(gòu)一個不可構(gòu)。直觀的感覺，和取兩種不同的值，調(diào)整的空間很大。但真去構(gòu)造時，還是比較麻煩的。不妨從第一問當(dāng)中，尋找一些思路。

在第1問的選擇當(dāng)中，關(guān)注到：A,D,E,F,H,K,G,L,I像是一個三階幻方，類似點在于三行三列和是相等的。這樣的話可以使得以B相關(guān)的其中三條和相等，與C相關(guān)的三條和相等，不過這兩組和是不同的取值（B,C不同）。此時還剩兩組和，AHIJ與BJC。我們的重點就是將AHIJ與BJC這兩組和調(diào)整一下，使其與之前出現(xiàn)的兩個值一樣。

如何調(diào)整？

其中BJC這組只有三個數(shù)，其它和都有四個數(shù)，我們在滿足其他組符合要求的情況下，可以通過將12個數(shù)同時加上相同的數(shù)，對應(yīng)的差會變化。比如BJC的這組的和比其他的和少x，我們就將所有數(shù)都加x，就可以使8個和都相等了。不過如果我們第一次選擇的數(shù)是最小的那幾個自然數(shù)，就只能加，就是BJC的和要某個和大！

上面的想法，可讓我們優(yōu)選考慮AHIJ的和

首先要使得三階幻方調(diào)整成A+H+I對角線和其它行列的和不一樣，但配上J和B/C后要一樣。

先來個常見幻方填法

找一條對角線，調(diào)整一下，使對角線的和變化，且三行和三列的和還是相等，比如讓一條對角線都加1：

不過7又重復(fù)出現(xiàn)了，那把7變大1吧，但是其它數(shù)也要對應(yīng)調(diào)整，要讓三行三列的和一直都相等，可以把和另一個7不同行不同列的數(shù)，選兩個。如：

此時，我們要的對角線的和是5+6+7=18，三行和三列的3個數(shù)的和是9+1+7=17，不相等，18補上J要和17補B或C相等才行

這時只要讓J比B或C小1就行。這個時候不要忘了12個連續(xù)自然數(shù)這個條件，所以必須多一個4。

可以這樣讓J=11,B=12,C=4

此時除了B+J+C=12+11+4=27

其它的和，要么是18+11=17+12=29，要么是17+4=21

用之前想到的思路，把此時的12個數(shù)每個數(shù)都增加了6，就會變成下圖了

步驟2：可以，構(gòu)造如圖

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寫在后面：還是要感謝和我一起討論的老師同學(xué)和家長，歡迎所有人和我討論漂亮的小奧題。

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