作者 | Helen
文 3691字 閱讀時間約 7分鐘
數(shù)學史上真正的王炸事件，看完后的羅數(shù)君已經(jīng)驚掉下巴！先從回顧80年代的這次SAT烏龍事件開始吧！
1982年，一道SAT數(shù)學題出錯，引發(fā)了SAT歷史上最嚴重的烏龍事件。
出卷方美國大學理事會（College Board）在考后聲明，這道題出卷方給出的答案是錯的。五個選項中，沒有一個正確選項。
紐約時報1982年5月25日也對這次高考數(shù)學題出錯事件進行了報道。
當年三十萬考生中只有三個考生做對了這道選擇題。除了那三人，所有人的分數(shù)都被扣回去了。Circle A has 1/3 the radius of circle B. Circle A rolls around circle B until it turns to its starting position. How many revolutions of circle A are there in total?
圓A的半徑是圓B的三分之一，如果我們讓小圓繞大圓轉(zhuǎn)一圈（就像月亮繞太陽）回到原點。小圓會自轉(zhuǎn)幾圈？因為大圓周長是小圓的3倍，小圓自轉(zhuǎn)3圈的距離應該剛好是大圓的周長。當然了，直覺這個磨人的小妖精總是欺騙我們，答案并不是3。為什么直覺犯了錯？是因為我們很難想象，圓轉(zhuǎn)動一周，圓心走過的距離是圓的周長，但是圓上一點走過的距離卻不是周長。
如果我們將不動圓的周長拉成一條直線，再來思考這個問題呢？想象一個圓在一條直線上滾動時，圓邊界上的一個定點所形成的軌跡。就像滾動的車輪從地面上粘起一枚口香糖。當車輪繼續(xù)向前時，這枚口香糖就在空中畫出一條擺線。
車輪每旋轉(zhuǎn)一周，口香糖就畫出擺線的一個拱。這個軌跡就是著名的“擺線”，又叫做“幾何學上的海倫”。
如同海倫過分美麗引起了著名的特洛伊戰(zhàn)爭，美麗的“擺線”，實在太過于有用，也因此引起了數(shù)學史上的眾多大家的爭端。笛卡兒、帕斯卡、約翰 ? 伯努利、萊布尼茲、牛頓都爭相研究擺線的。場面堪稱王炸。誰也不知道是哪位數(shù)學家首先研究清楚了擺線的性質(zhì)。我們先選擇圓上的一點，研究一下這一點的位置是怎樣變化的。從圖像上我們可以看到圓上一點運動的軌跡，是一個弧形。這個弧形的“拱高”是圓的直徑d，這個弧形的寬度則剛好是圓的周長，也正是是圓心走過的距離。早在17世紀，數(shù)學家們就發(fā)現(xiàn)擺線的長度剛好是旋轉(zhuǎn)圓直徑的4倍。
回到最初的題目，現(xiàn)在你知道答案是多少了嗎？之前我們考慮的是圓上一點運動的軌跡，但是這個軌跡并不是我們想象的一個圓。其實我們只需要考慮圓心走過的的距離就行了。我們假設大圓的半徑為3，那么小圓的半徑就為1。我們知道圓心走過的軌跡是一個圓，這個新的圓的半徑是兩個圓半徑的和1+3，也就是說這個軌跡的長度是8π，而小圓的周長是2π，所以小圓實際上自轉(zhuǎn)了4圈。更進一步總結(jié)一下，假設A圓半徑是一個單位，B圓半徑是A圓的n倍。那么圓心軌跡所形成的新圓的半徑就應該是n+1。根據(jù)計算，新圓周長 = 2*（n+1）π，A圓周長 = 2π，所以小圓就應該自轉(zhuǎn)n+1次。其實這道題就解釋了有名的硬幣悖論(coin paradox)。兩枚一模一樣的硬幣，硬幣1繞硬幣2一圈，要自轉(zhuǎn)兩圈，很多人想不通為什么。
這就是我們這個問題一個特殊的例子，當n=1的時候，圓心軌跡這個新圓的半徑就應該是2，所以小圓就應該自轉(zhuǎn)2次。
然而早在史前三百多年亞里士多德就已經(jīng)提出相似的問題了，叫做車輪悖論。亞里士多德觀察到，車輪轉(zhuǎn)一圈，內(nèi)外兩個圓都回到原點，兩個圓走過的路程應該是一樣的。但是這個路程等于大圓的周長，卻大于小圓的周長，到底是什么地方出了錯？看起來像是一個難題，但是解決了前一道題的你，一定能明白這到底是為什么吧？兩個圓走過同樣的路程，實際上的兩個圓的圓心走過了同樣的路程，因為它們是同心圓，這是毋庸置疑的。可是對于圓上的一點來說，它走過的距離與圓的大小有關。我們知道兩個圓上的點經(jīng)過的軌跡其實分別是兩條不一樣的擺線。小圓的擺線更短，效率更高。實際上，小圓的擺線有一個特殊的名稱叫短伏擺線，和擺線同屬一個家族。
而擺線的故事卻遠遠還沒有結(jié)束。文章開篇的時候我們說過，擺線因為深受各位數(shù)學家的喜愛，甚至挑起了數(shù)學史上絕無僅有的爭端，正所謂“幾何學的海倫”。1640年，伽利略（Galileo）給卡瓦列里（Cavalieri）的信中寫道：“我思考這個形狀已經(jīng)五十年多了。”伽利略也是第一個命名擺線（“cycloid”）的科學家。他用同樣的材料切割出擺線和產(chǎn)生擺線的圓，通過他們的質(zhì)量比，伽利略推算出擺線和x軸圍成的面積與產(chǎn)生它的圓的面積比大約是3:1。大約同一時期，羅貝爾瓦（Roberval）在寫給笛卡爾（Descartes）的信中正式證明了這個結(jié)果。羅貝爾瓦大費周章地作了一條輔助線AQD（后來被證明是正弦波的形狀），并且求出了中間水滴形AQDP的面積應該是1/2πr^2。根據(jù)祖暅原理，也就是前文提到過的卡瓦列里原理，我們知道曲線AQD將長方形ABDC平分成兩半，AB是圓的直徑也就是2r，CD 是圓周長的一半，所以是πr。所以AQDC的面積是πr^2。那么整個ACDP的面積就是3/2πr^2。因為這里只是擺線的一半，我們可以說這個擺線下的面積是3倍對應圓的面積。無巧不成書，伽利略最后的學生和助理托里拆利（Torricelli）搶先一步發(fā)表了這個證明。而實際上他們倆分別獨自發(fā)現(xiàn)了這個證明。令人唏噓的是，直到托里拆利染上風寒去世的前夕，他仍然在收集證據(jù)，證明他是獨自解決了這個難題。羅貝爾瓦和托里拆利的戰(zhàn)爭并沒有隨著托里拆利的逝世而淡出人們的視線。他們的戰(zhàn)爭一直延續(xù)到了帕斯卡（Pascal）發(fā)表“擺線簡史”（History of Pascal）。對的，這個帕斯卡就是重新發(fā)現(xiàn)了楊輝三角的帕斯卡。某個夜黑風高的晚上，帕斯卡覺得牙疼，于是開始思考擺線的性質(zhì)，思考思考甚至忘記了疼。帕斯卡覺得這是上帝的旨意，于是花了八天來研究擺線，并發(fā)表了“擺線簡史”。但是“擺線簡史”在意大利遭到了人們的抵制，正是因為帕斯卡支持了法國數(shù)學家羅貝爾瓦的說法。英國數(shù)學家瓦里斯（Wallis）也在同一時期發(fā)表了類似的結(jié)果。1650年左右，英國建筑學家雷恩寫信（圣保羅大教堂設計者）說擺線的長度正好是對應圓的八倍。當然了，羅貝爾瓦這時候又跳出來說他早就證明了這個結(jié)果。不過真相就不得而知了?？墒菙[線的故事到這里卻遠遠沒有結(jié)束。1629年，笛卡爾的摯友康斯坦丁的兒子出生，他就是惠更斯（Huygens）。折磨理科生三年的單擺周期公式就是他發(fā)現(xiàn)的。惠更斯業(yè)余時間是個數(shù)學家，主業(yè)卻是個鐘表匠。他在研究更精確的鐘表時一不小心發(fā)現(xiàn)了“等時曲線”。如果我們將一個小球放置在等時曲線上任一點使其自由下滑至到最低點所需要的時間都相等。通過嚴格的幾何證明，惠更斯發(fā)現(xiàn)這條曲線正是我們魂牽夢縈的“擺線”！不久以后，理科生的另外兩大噩夢拉格朗日（Lagrange）和歐拉（Euler）也紛紛用解析法算出了這條等時降線。
正當我們認為擺線可能已經(jīng)到達了人生的巔峰，更驚喜的事情還在后頭。1696年，伯努利在《博學通報》（Acta Eruditorum）發(fā)表了關于最速降線的研究。最速降線是指我們放一個小球在一點A沿某條曲線滾到低一點的B點，該以什么樣的曲線行進才能讓所需的時間最短。牛頓、伯努利、萊布尼茲（Leibniz）和洛必達（l’hopital）都得出同一結(jié)論，即正確的答案應該是擺線的一段。
除了洛必達的解外，其他人的解都在1697年5月的《博學通報》出現(xiàn)。大概同一時期，關于牛頓和萊布尼茨誰先發(fā)明了微積分的爭論也甚囂塵上，當然這是后話了。正是擺線許許多多優(yōu)美的性質(zhì)讓數(shù)學家們魂牽夢縈，甚至不惜大打出手。完全配得上“幾何學的海倫”這個希臘第一美女的稱號。
可是擺線的故事并沒有到此為止，那些亞里士多德想不明白的問題，我們花了幾百年，伽利略，帕斯卡和惠更斯把它想明白了。而惠更斯，牛頓和萊布尼茨想不明白的問題，希望在接下來的幾十年來，讀文章的你能夠再想想看。萬物靜默如謎，數(shù)學之所以令人神往，就是因為我們走在路上，隨處有前人解不開的謎題。
