寫在前面：

前段時(shí)間寫過(guò)一篇文章，講過(guò)用小學(xué)標(biāo)數(shù)法解一道AMC12試題。

那篇文章發(fā)布之后，有不少家長(zhǎng)和學(xué)生跟我互動(dòng)，覺(jué)得自己的標(biāo)數(shù)法沒(méi)學(xué)好，想要我多講一下這方面的內(nèi)容。

好巧不巧的是我今年剛好給YCB初一組的初賽出了一道脫胎于標(biāo)數(shù)法的計(jì)數(shù)題，然而當(dāng)時(shí)還沒(méi)有考，出于保密原則，也就沒(méi)辦法寫這篇文章。

現(xiàn)在初賽階段的測(cè)試全部告一段落，試題也基本公布。剛好趁著這個(gè)機(jī)會(huì)，從這道題出發(fā)，同大家聊一聊計(jì)數(shù)問(wèn)題中“透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)”的學(xué)習(xí)方法。

我供給今年YCB初一組初賽的第九題是這樣一道題，雖說(shuō)放到了初一組，但小學(xué)高年級(jí)的孩子都完全有能力完成：

這道題乍看之下非常像三年級(jí)學(xué)習(xí)的標(biāo)數(shù)法找最短路線。由此出發(fā)，也很容易得到下面兩種錯(cuò)誤解答——說(shuō)句題外話，計(jì)數(shù)問(wèn)題中的錯(cuò)誤解答，比其他題型的錯(cuò)誤更具有分析價(jià)值。大家在整理計(jì)數(shù)的錯(cuò)題時(shí)，一定要仔細(xì)對(duì)照解析，分析清楚自己為什么錯(cuò)了：是分類不全，算式列錯(cuò)還是重復(fù)計(jì)數(shù)了？只有洞悉錯(cuò)誤原因，才能離正確越來(lái)越近。

錯(cuò)解一：直接標(biāo)數(shù)

直接應(yīng)用標(biāo)數(shù)法，會(huì)得到B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)字為4231，故答案為4231條最短路線。

這個(gè)方法錯(cuò)在哪里呢？

其實(shí)，通過(guò)標(biāo)數(shù)法得到的方法數(shù)，并非嚴(yán)格意義上的“最短路線”，而應(yīng)當(dāng)稱為“不回頭路線”。

顯然，在橫平豎直的經(jīng)典標(biāo)數(shù)法問(wèn)題里，只要不回頭便是最短了。但在這個(gè)圖中，因?yàn)橛行本€的存在，兩點(diǎn)之間線段最短，只有途徑兩條斜線的“不回頭路線”才是真正最短的。

而標(biāo)數(shù)得到的4231，僅僅是所有的“不回頭路線”，并不能保證經(jīng)過(guò)斜線，所以不正確。

錯(cuò)解二：標(biāo)數(shù)+排除

既然上面的錯(cuò)解是因?yàn)椴荒鼙ＷC走斜線，那我們只要能排除其中所有不走斜線的方法，剩下的不就是答案了嗎？

于是就有了下面這一種做法：

原圖中標(biāo)數(shù)，有4231種不同方法；去掉所有斜線，余下8×4的長(zhǎng)方形網(wǎng)格標(biāo)數(shù)，有495種不同方法，對(duì)應(yīng)著所有不走斜線的方法數(shù)。

故答案為4231－495＝3736種。

這個(gè)方法又錯(cuò)在哪里呢？

誠(chéng)然，我們通過(guò)做減法，排除了所有不走直線的方法數(shù)，但最短路線的要求，必須要經(jīng)過(guò)完整的兩條斜線。剩下的3736種方法中，仍包含著大量“只走一條斜線”的方法，而他們依然是不符合題意的。

在排除了這兩種常見(jiàn)的錯(cuò)解之后，如果順著思路繼續(xù)分析，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，通過(guò)標(biāo)數(shù)的手段幾乎沒(méi)有辦法分析出“只經(jīng)過(guò)一條斜線的方法數(shù)”，解題走進(jìn)了死胡同。

所以，想要解決這道題，就要從標(biāo)數(shù)法現(xiàn)象后的本質(zhì)說(shuō)起了。

咱們先回到標(biāo)數(shù)法最簡(jiǎn)單的例題，還是下面這道：

如圖所示，沿線段從A走到B，有多少條不同的最短路線？

數(shù)已經(jīng)幫大家標(biāo)好了，答案是10。

下面的問(wèn)題是：能不能用除標(biāo)數(shù)與枚舉外的其他的方法得到答案10呢？

這里需要我們轉(zhuǎn)換一下看問(wèn)題的視角。

在使用標(biāo)數(shù)法的時(shí)候，我們是作為一個(gè)純粹的旁觀者，用數(shù)字標(biāo)記出路線的，這就是所謂的“上帝視角”或者說(shuō)“第三人稱視角”。

那么，如果我們換一個(gè)視角，站在當(dāng)事人的角度去想問(wèn)題呢？

現(xiàn)在把自己想象成問(wèn)題中的那個(gè)需要從A走到B的路人。作為當(dāng)事人，我們顯然沒(méi)辦法在每個(gè)路口標(biāo)上數(shù)字，能夠做的只有在走到每個(gè)路口的時(shí)候思考下面這個(gè)問(wèn)題：我這一步應(yīng)該往哪個(gè)方向走呢？

顯然，從A走到B，我們需要向右走3步，向上走2步，總共走5步。

于是問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)椋合蛴易?步，向上走2步，有多少種不同的安排順序？

這個(gè)問(wèn)題學(xué)過(guò)排列組合的孩子都能輕松回答：這相當(dāng)于從5步中選出2步向上走，其余步數(shù)向左走，即種。

這恰好對(duì)應(yīng)了標(biāo)數(shù)得到的答案。

事實(shí)上，任意一種安排順序，例如右右右上上，或者右上上右右，都對(duì)應(yīng)著唯一的一條最短路線——只要從起點(diǎn)出發(fā)，按照指令的順序控制行人移動(dòng)就可以了。

事實(shí)上，我們可以給出一個(gè)更通用的結(jié)論：

在一個(gè)n×m的長(zhǎng)方形網(wǎng)格中，從左下角走到右上角的最短路線數(shù)為條。

這就是標(biāo)數(shù)法的現(xiàn)象背后隱藏的本質(zhì)。

了解了這一點(diǎn)之后，我們回到原題中來(lái)。

同樣運(yùn)用當(dāng)事人視角，把自己想象成行人，考慮斜線的存在，我們從A點(diǎn)走到B點(diǎn)的最短路線，需要向右走6步，向上走2步，沿斜線走2步。

從而最短路線數(shù)等價(jià)于這10步的排列順序數(shù)。

——這里又會(huì)誕生一個(gè)新的錯(cuò)解。

錯(cuò)解三：排列數(shù)法

問(wèn)題相當(dāng)于對(duì)6步橫走，2步縱走和2步斜走進(jìn)行排序的方法數(shù)，可以看成10步中先選2步斜走，再選2步縱走，剩下的橫走，方法數(shù)為：種。

這個(gè)答案已經(jīng)很接近正確解答了，但還差一點(diǎn)。它又錯(cuò)在哪里呢？

如果你能注意到，圖中的斜線僅僅分布在第2行與第4行，就能解答這一問(wèn)題了。事實(shí)上，由于第一行沒(méi)有斜線，所以從第一行到第二行只能縱走。而為了保證路線最短，從第二行到第三行只能斜走。于是我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果不看水平方向，只看豎直方向移動(dòng)的4步，其順序一定是豎-斜-豎-斜固定。

所以，上面的組合數(shù)中，第一步就斜走，或者連續(xù)兩步豎走的方法數(shù)，都是無(wú)法在地圖上走出的。

理解了這一點(diǎn)，我們只需要將上面的解答稍作修改，就可以得到正確答案了。

正確解答：捆綁排列

問(wèn)題相當(dāng)于對(duì)6步向右，2步向上和2步斜走進(jìn)行排序。注意到，豎直方向上的位移一定按照豎-斜-豎-斜的順序，所以可以將其捆綁在一起，看成從10步中選出6步橫移，4步豎移。其中，4步豎移的位置確定后，內(nèi)部順序固定為豎-斜-豎-斜。故排序方法為種。

這道題考察的知識(shí)點(diǎn)，是對(duì)標(biāo)數(shù)法的本質(zhì)認(rèn)知和運(yùn)用。由于考察對(duì)象是初一的孩子，可以認(rèn)為，孩子只要在小學(xué)階段學(xué)習(xí)標(biāo)數(shù)法時(shí)，好讀書而求甚解，探究過(guò)標(biāo)數(shù)法背后的原理，或者經(jīng)老師講授過(guò)類似的道理，解出這道題的難度便不大。相反，如果只知道標(biāo)數(shù)而不知其所以然，想必這道題就顯得相當(dāng)棘手了。

事實(shí)上，在計(jì)數(shù)這一專題中，還存在著許多非常有意思的結(jié)論，都是一些簡(jiǎn)單現(xiàn)象背后的本質(zhì)。

很多看似繁瑣的分類計(jì)數(shù)題，往往可以用一個(gè)極其簡(jiǎn)單的算式，一個(gè)非常單薄的組合數(shù)進(jìn)行“秒殺”。

舉一個(gè)最常見(jiàn)的例子，大家都比較熟悉的“楊輝三角”。

楊輝三角是一個(gè)從第一層開(kāi)始，每一層的數(shù)等于上一層兩個(gè)相鄰數(shù)之和的遞推數(shù)陣，其樣式如下：

除了最常見(jiàn)的遞推規(guī)律之外，簡(jiǎn)單計(jì)算就能發(fā)現(xiàn)其中另外兩個(gè)性質(zhì)：

（1）第n行所有數(shù)之和恰為2的n-1次方

（2）第n行所有數(shù)從左到右恰好對(duì)應(yīng)這n個(gè)組合數(shù)。

——而這兩個(gè)計(jì)算規(guī)律結(jié)合遞推規(guī)律，就能得到下面兩個(gè)很有意思的公式了。

1、

這個(gè)公式是高中赫赫有名的二項(xiàng)式定理在x=y=1時(shí)的特殊形式。

不過(guò)這里我們依然可以用現(xiàn)象與本質(zhì)法簡(jiǎn)單解釋并證明。

想象這樣一個(gè)場(chǎng)景：有n個(gè)不同的小球，取出其中的任意個(gè)（可以全取也可以不?。?，有多少種不同的方法？

首先，站在“上帝視角”，我們可以對(duì)取出的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類：從取0個(gè)到取n個(gè)，顯然，所有情況的方法數(shù)之和為。

其次，站在“當(dāng)事人視角”，把我們想象成嗷嗷待取的小球，顯然每個(gè)小球都只有兩種選擇：被取，或不被取。那么，根據(jù)乘法原理，不同的取法數(shù)即為.

所以兩者相等，公式得證。

不需要用到任何高中知識(shí)。

2、

這是楊輝三角遞推性質(zhì)的一般表示，也是高中組合恒等式的一個(gè)特例。

而小學(xué)四年級(jí)以上的孩子，都可以利用和之前一樣的思路簡(jiǎn)單證明。

等號(hào)左邊相當(dāng)于從n+1個(gè)不同的小球中，取出m個(gè)的方法數(shù)。等號(hào)右邊則是對(duì)這個(gè)問(wèn)題的一次分類討論：

按照第一個(gè)球是否被取分類。如果第一個(gè)球被取走，相當(dāng)于還要在余下n個(gè)球里取m-1個(gè)；如果第一個(gè)球不被取走，則相當(dāng)于在余下的n個(gè)球里取m個(gè)。

總方法數(shù)等于兩類之和，公式得證。

所以，在計(jì)數(shù)中，多想一些為什么，多分析一些現(xiàn)象之后的本質(zhì)，會(huì)對(duì)大家計(jì)數(shù)專題的學(xué)習(xí)大有幫助。

最后，我在即將出版的《2021年MO年鑒》上刊載了一套小高組模擬題，其中有一道題用到了與這道題較為相似的思考方式，但更為簡(jiǎn)單，這里提前劇透一下，作為本文閱讀結(jié)束后的思考作業(yè)：

參考閱讀：

一道AMC12試題——小學(xué)標(biāo)數(shù)法的巧妙運(yùn)用

這段時(shí)間，公眾號(hào)將會(huì)更新一些和近期幾個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)相關(guān)的內(nèi)容，包括咨詢、真題賞析、攻略等等，有需求的家長(zhǎng)們可以關(guān)注。

希望每個(gè)孩子都能取得滿意的成績(jī)。